学文网摘 要：本文主要根据高等几何课程的特点，就如何激发学生的学习积极性，提高教学质量，引导学生学好射影几何的理论，从而提高处理几何问题的能力，谈了高等几何教学中应该注意的若干问题。
关键词：射影几何；无穷远元素；齐次坐标；教学体会
《高等几何》是高等师范院校数学专业的重要基础课程之一，它与《初等几何》、《解析几何》、《高等代数》有极其密切的联系。它是在学生已学过许多数学知识，特别是已经熟悉初等几何、解析几何与高等代数等有关知识的基础上，以仿射几何作为从欧氏几何到射影几何的桥梁，进一步系统地学习射影几何的基础知识，以及射影几何和仿射几何、欧氏几何的内在联系和根本差别等方面的内容。本文作者从事多年高等几何的教学，总结了一些教学中应注意的问题和体会。
一、介绍几何发展史，激发学生的学习积极性
在讲课中，向学生说明射影几何悠久的发展历史，对激发学生学习兴趣很有帮助。远在公元四世纪，古希腊人已经发现了圆锥曲线，后来有很多关于圆锥曲线的定理成为射影几何的内容。1639年，Desargues建立了无穷远元素的概念，并得出了透视三点形的定理和关于点列对合的定理，奠定了射影几何发展的基础。1649年，Pascal发现了关于二阶曲线的定理，这条著名定理至今仍在射影几何中占极其重要的地位。1822年，Poncelet研究了***形在射影变换下的性质（射影性质），接着他又提出了交比、无穷远直线等重要概念，并建立了对偶原则和配极理论。1827年，Mobius研究了平面和空间的一一对应，并和Feuerbach建立了齐次坐标。而二阶和高阶曲线的射影理论是在1832年Steiner建立了二阶曲线的射影定义之后逐步建立起来的。到了1872年，Klein提出了著名的变换群的观点，从而可以通过变换群的关系来分析各种几何之间的内在联系和根本差别。
在整个数学发展过程中，不仅在数学上最重要，而且在人类文化史上也是非常突出的就是Euclid的《几何原本》。这是第一本系统性的书，主要的目的是研究空间的性质。这些性质都可以从很简单的公理用逻辑的推理得到。这是一本关于整个数学的书，不仅限于几何学。
华人数学大师陈省身教授对数学有重大贡献，尤其是几何学方面。他的成就对现代教学的许多分支都产生了深远的影响。诺贝尔物理学奖得主杨振宁教授，作诗赞誉陈省身大师对几何学的贡献："赞陈氏级：天意岂无缝，匠心剪接成，浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能，千古寸心事，欧高黎卡陈。"赞扬陈省身教授在几何上的成就可以媲美Euclid，Gauss，Riemann等大数学家。
通过介绍几何发展史及华人数学家在几何方面的伟大贡献，使学生树立了民族自豪感，充分调动了学生为振兴中华而努力学习的积极性。
二、紧紧围绕射影几何的特点进行教学
首先，向学生讲清楚无穷远元素、齐次坐标等概念。从欧氏平面添加无穷远元素以及从笛氏坐标系建立射影平面和射影坐标系。在笛氏坐标系下代表平面上的无穷远元素，而在射影坐标系下则代表坐标三角形的第三边，这些都向学生一一讲解清楚。对于无穷远元素，在教学中注意讲清楚：欧氏平面上没有无穷远元素，平行线存在而不相交；仿射平面上平行线存在相交，相交于无穷远处；而在射影平面上无穷远元素与普通元素看成是平等的，平行线不存在。在教学中还要讲清楚无穷远元素在解题中的妙用，它可以巧妙的解决许多用初等几何方法难于解决的问题，从而使学生开拓视野，培养思维能力，提高解题能力。
其次，是讲清楚射影直线和射影平面的有关概念，加深学生对射影直线和射影平面的理解。由于射影直线和射影平面都是封闭的，这是射影直线和射影平面的基本特征，也是它们与欧氏直线和欧氏平面的根本区别。因此在教学中给出射影直线和射影平面的拓扑模型，进行直观教学，也是十分必要的。在教学中还要讲清楚用射影几何方法解决几何中的三点共线问题。
例 证明三角形垂心、重心、外心三心共线（欧拉线）
证明：设%=ABC的垂心、重心、外心分别为H、G、L，又设D、E分别为BC、CA边上的中点，考察%=DEL和%=ABH，易知DE//AB，DL//AH（同垂直于BC），EL//BH（同垂直于AC），故三点DEXAB、DLXAH、ELXBH均为无穷远点，因而共线，由德萨格（Desargues）对偶定理知，三线AD、BE、HL共点。又ADXBE=G，即点G位于直线HL上，故H、G、L三点共线。证毕[1]。
通过举例可知，借助无穷远元素来证明共线（或共点）的问题，显然可以大大简化了证明过程，这也是高等几何在初等几何的一点应用。
三、突出教学方法，注重课堂教学效果
由于射影几何既可以用综合法，也可以用代数法进行研究。但从与代数和其它数学分支的联系以及进一步学习的需要来说，代数法应该占更重要的地位。因此，在教学中主要采用代数法，兼用综合法。在教学中尽量从几何的概念出发，运用几何直观开发智力，运用代数这个有力的工具加以研究。以确定空间形式的本质。由于线性代数是高等代数中发展得比较成熟的部分，因此在高等几何中可以充分使用[2]。
应用代数法，对象的存在性主要依赖于数和方程解决。代数这个工具，可以作为简化思维过程并加以高度概括总结的武器。事实证明，学了射影几何之后，学生对代数的应用能力和兴趣也提高了。
四、结束语
《高等几何》主要是学习射影几何的基本理论，只有学好《高等几何》，才能更好的学习其它后续课程，为进一步学习现代数学做准备。由于师范院校的毕业生绝大部分从事中学数学教学，且高等几何对未来中学教师在几何方面理论的提高、思维的灵活、方法的多样化起着重要作用。因此在教学中适当讲解高等几何对初等几何、解析几何有指导作用的题目，可以使学生将来用较高的理论去指导自己的教学工作，从而有助于中学数学质量的提高。
参考文献：
[1]祥，朱维宗. 高等几何[M]. 北京：高等教育出版社，2007.
[2]（美）F.艾利斯 编，胡宗慎 译. 射影几何的理论和习题[M].上海：上海科学技术出版社，1987.
作者简介：李中（1963-），广东茂名人，副教授，主要研究方向：几何、数论等。
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