学文网摘 要:列举高等代数中的一些常见的利用单位矩阵扩充源矩阵方法,实例说明他们的用法及区别。
关键词:单位矩阵;扩充变形
高等代数中,在求解相应的矩阵时若添加单位矩阵然后通过初等变换进行求解往往可以使问题变得简单。
一、求等价标准型问题
设A是m×n矩阵,求A的等价标准型D以及使PAQ=D成立的P与Q,按常规方法,一般会分别对A作行初等变化与列初等变化求出P、Q。而如果利用添加单位矩阵:即
当对A作行初等变换时,Im也作了相同的行初等变换,即化为P;
当对A作列初等变换时,In也作了相同的行初等变换,即化为Q。
这种将源矩阵扩充的方法比常规方法更简单便捷。
例一:设A= ,求等价标准型D及相应的P、Q使PAQ=D。
解:利用单位矩阵将A扩充为5×5矩阵
二、求逆矩阵问题
设A是n阶可逆矩阵,求其逆矩阵。
一般的思想,同学们会先求出A*,再利用A-1=
A*进行求解,这种方法算起来较麻烦且易出错。
可以利用(A I)(I A-1),即把n阶单位矩
阵I写在A的右边,得到一个n×2n矩阵,然后对这一矩阵施行行初等变换,使得前n列变为I,这时后n列就化为A-1了。
如果不知A是否可逆,也可用这种方法做,只要n×2n矩阵经行初等变换左边的n×n那一块中有一行(列)的元素全为0,则A不能经过初等变换化为单位矩阵,即A不可逆。
例二:求下列矩阵的逆矩阵
解:利用单位矩阵将A扩充为3×6矩阵,即:
三、求非退化的线性替换问题
例三:求一非退化的线性替换f(x1,x2,x3)=2 x1x2-6 x2x3+2 x1x3化为标准型
解:f(x1,x2,x3)的矩阵为
利用单位矩阵将A扩充为6×3矩阵
可以作非退化的线性替换
即可以把f(x1,x2,x3)化为标准形f(x1,x2,x3)=2y12-2y22+6y32
注:本例中作,对A施行相同的列与行
初等变换则对I同时且仅仅施行了相同的列初等变换,即P为对应的非退化的线性替换。
以上介绍了三种利用单位矩阵求解问题的方法,可以发现利用单位矩阵使源矩阵扩充的反方法求解起来更为简单。
作者单位:西北师范大学数学与信息科学学院
参考文献:
[1]《高等代数》.高等教育出版社.
[2]杨明,刘先忠.《矩阵论》.
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