学文网本文作者：李 青 王天舒 马兴瑞 单位：北京空间飞行器总体设计部 清华大学航天航空学院 中国航天科技集团公司
1引言
自从1957年10月4日前苏联发射世界上第一个航天器—–“人造地球卫星一号”以来,航天器经历了由简单到复杂的发展过程,航天器动力学也经历了由低级到高级的发展过程.由于有效载荷的增加和任务寿命的提高,现代航天器通常携带着大量的液体推进剂,液体推进剂质量可达到运载火箭总质量的90%以上、卫星或探测器总质量的50%以上.因此液体对航天器的动力学特性有着十分重要的影响.一方面,大量液体推进剂的晃动会对航天器产生较大的干扰力和力矩,一旦超过控制系统可调节或结构所能承受的上限,将造成控制系统不稳定或结构破坏[1].1998年美国NASA发射的NearEarthAsteroidRendezvous(NEAR)航天器在执行近地小行星探测任务时,由于卫星姿态与液体晃动之间的耦合导致一个推进系统失效,使任务延迟了13个月.另一方面,液体推进剂与贮箱壳体的液固耦合作用会大大降低航天器结构的振动频率.当火箭纵向振动频率与推进反馈系统频率发生耦合时,将产生纵向耦合振动(POGO),对运载火箭中的人员和仪器产生不利影响[2];当火箭横向振动频率与推进剂贮箱内液体晃动频率相接近时,二者有可能发生耦合作用而对火箭飞行稳定性产生影响.本文从航天工程实际出发,着重介绍了充液航天器动力学中液体晃动和液固耦合两个关键问题的研究进展情况,在此基础上对充液航天器动力学的进一步研究方向提出了建议.
2液体晃动动力学研究进展
充液系统可分为全充液系统和部分充液系统.全充液系统中的液体不形成自由液面,对于腔内充满不可压缩理想无旋液体的情况,可以在系统动力学建模中将液体用Zhukovskiy等效刚体代替,由于液体不能完全伴随腔体作各种姿态运动,因此液体等效刚体的惯量张量与“凝固液体”的惯量张量不同,问题归结为等效刚体惯量张量的计算[3];而部分充液系统中的液体还存在着晃动的问题,更符合航天工程中的实际情况,因为随着燃料的消耗,航天器通常处于不同充液比(即充液体积与贮箱容积之比)的部分充液状态.一般情况下,当液体晃动幅度低于充液腔体半径15%时将其定义为小幅晃动,大于25%时归为大幅晃动,介于小幅晃动和大幅晃动之间的为有限幅晃动,大幅晃动和有限幅晃动可统称为非线性晃动.液体晃动问题的研究方法可分为理论研究、数值研究、实验研究等3类,下面分别介绍这3类研究方法的进展情况,并以此为基础介绍航天工程中常用的等效力学模型研究现状.
2.1理论研究20世纪60年代,Abramson[4]首先对几种特殊形状(包括矩形、圆柱形、圆环形、扇形等)容器内液体横向小幅晃动的理论求解方法和结果进行了系统介绍,应用不可压缩、无黏、无旋的线性势流理论建模,将流体动力学方程演绎为速度势的拉普拉斯方程,具有线性化的边界条件,采用分离变量法得到了速度势特征函数和特征频率的解析解.Levin[5]给出了顶角为90的圆锥容器情况下的解析解.实际上,只有少数几种形状的容器,可使用分离变形量法对上述拉普拉斯方程的边值问题进行解析求解.对于一般形状容器,由于壁面几何结构的复杂性,很难直接用解析方法求解,因此只能借助于Ritz法、Galerkin法等近似求解方法.Rattayya[6]利用Ritz法对轴对称椭球形和球形贮箱内液体的小幅晃动问题进行了理论分析,得到了速度势特征函数和特征频率的半解析解,并计算了液体对贮箱产生的作用力和力矩.对于更加一般的三维形状容器,半解析解也无法获得,需要进一步结合数值方法进行分析求解.尽管在理论研究中普遍采用了不可压缩、无黏、无旋的势流假设,但是在航天工程应用中,液体黏性导致的阻尼效应对液体晃动有耗散作用,忽略这种耗散作用将增加控制系统的负担甚至影响航天器的稳定性.因此,液体晃动阻尼是充液航天器动力学与控制中必须考虑的因素,对于贮箱内安装有防晃装置的情况更是如此.关于液体晃动阻尼的计算,通常的方法是在求解液体的动力学特性时先忽略黏性,然后考虑黏性修正项估算晃动阻尼.Miles和Henderson[7-8]通过理论分析提出用固壁面处的Stokes边界层阻尼加液体内部的瑞利阻尼之和来计算液体晃动阻尼,对于液面受到严重污染的情况,认为液面覆盖了一层不可伸展的膜,因而同样采用Stokes边界层理论计算液面污染带来的阻尼,得到了与排除接触线影响的实验值较为吻合的计算结果.王为[9]在此基础之上,对接触线处及表面活性物质带来的能量耗散提出了新的计算方法,计算结果与实验结果取得了更好的一致.但是以上方法不能计算贮箱内防晃板的耗散作用,Buzhinskii[10]指出液体边界层会在防晃板的边缘处发生分离并产生局部涡流,从而提出根据速度强度因子在这些边缘处的分布来计算涡流带来的非线性阻尼.对于液体非线性晃动问题的理论研究,与小幅晃动问题一样也需要对液体作不可压缩、无黏、无旋的势流假设,但由于自由液面上的运动学和动力学边界条件不能再做线性化处理,同时液体晃动的各阶频率不再是常数,阻尼也是非线性的,各阶晃动会产生内共振,无法解耦处理,也无法利用线性叠加原理.因此通常的处理方法是将未知的自由液面波高和液体速度势分别展成液体晃动模态函数的级数形式,然后将它们代入原始的边值问题或其等价的变分方程中,得到广义坐标互相耦合的无穷维非线性常微分方程组,即无穷维模态系统;再根据选取不同的主次模态及其渐近关系,将无穷维模态系统降为有限维渐近模态系统,从而可以进行多尺度法分析或直接数值求解.根据模态系统降阶方法的不同,可分为以下3类[11]:(1)Perko模态法[12-14],此方法对无穷维模态系统进行直接截断,在晃动幅度较大或维数较高时容易产生数值发散现象;(2)Narimanov-Moiseev渐近模态法[15-17],此方法假定一阶晃动固有模态为主导模态、主导模态和次生模态之间为三阶渐近关系,从而将无穷维模态系统降为有限维,但公式推导比较繁琐;(3)Miles平均法[18-20],此方法仅考虑占整个晃动波最多能量的主导模态,但由于忽略了次生模态的影响而不能用来解释实验中出现的某些非线性现象.最近,Faltinsen等提出了多维模态方法,用来分析矩形贮箱中的液体非线性晃动问题,他们的研究成果接连发表在流体力学的顶级杂志JFM上[21-25],理论分析结果与实验观测结果取得了一致,是一种用来分析液体非线性晃动的有效的模态解析方法.其基本思想是根据问题的具体情况选取主导模态和与其关系密切的次生模态,然后采用Narimanov-Moiseev三阶渐近假设,完成无穷维模态系统的降阶.对于实验中出现的液体飞溅现象所导致的能量耗散,他们通过假设飞溅液体的动能和势能消失来加以考虑.国内,余延生等[11,26-27]将多维模态方法应用于圆柱贮箱液体非线性晃动问题的研究中,选取了两阶主导模态和三阶次生模态,推导出了描述圆柱贮箱液体自由晃动的五维渐近模态系统,最后通过数值仿真揭示了一些典型的非线性现象.不足的是,在液体非线性晃动问题的理论研究中,只对于少数具有简单几何形状容器才能得到解析解或半解析解,如矩形容器、圆柱形容器等,要达到工程应用的程度,还需要与有限元、边界元等数值方法相结合,实现分析方法的通用化和分析过程的程式化.另外,从严格意义上讲,这些理论方法主要适用于研究液面不至于破碎的有限幅晃动问题.对于液面出现破碎的大幅晃动问题、流体黏性较大或液位较浅等情况,就只能借助数值方法或实验方法来研究.
2.2数值研究
数值研究的方法依据所采用的理论模型的不同,主要可分为两类:一类是基于势流理论得到时空分离的动力学方程,从而通过特征值分析实现频域解耦的研究方法;另一类则直接从Navier-Stokes方程出发,对液体晃动进行时域的数值仿真,通常称为计算流体动力学(computationalfluiddynamics,CFD)方法.第一类方法目前只用于液体小幅晃动的研究,主要通过有限元法或边界元法实现.Aslam[28]用有限元法研究了轴对称容器中的液体小幅晃动行为;包光伟[29-31]用有限元法进行了轴对称容器和任意三维容器中液体小幅晃动的模态分析,但没有计算晃动阻尼;王为[9,32-34]在对液体小幅晃动进行有限元模态分析的基础上,计算了考虑边界层耗散、液面污染耗散和内部瑞利耗散的晃动阻尼,并成功应用于我国某大型卫星贮箱内的液体晃动建模中.Dutta和Laha[35]提出了一种计算液体小幅晃动模态和频率的低阶边界元法;Gedikli和Erguven[36]采用一种变分边界元法进行液体小幅晃动的模态分析,并将该方法应用于带防晃板贮箱内的液体晃动研究.第二类方法即CFD方法一般受晃动幅度的限制较小,可用于研究微重力状态下的液体晃动和液体大幅晃动等问题,克服了理论求解和实验方法在这些方面的困难,对航天工程应用具有重要的指导意义.按照流体运动描述方法的不同,可以将CFD方法分为两大类:拉格朗日法和欧拉法.拉格朗日法又称随体法,建立随体网格,跟踪流体质点的运动,该法的缺点在于当液体晃动剧烈时,随体网格会发生畸变导致计算发散;欧拉法又称当地法,建立包含液体的固定网格,观察流体质点的运动,该法的难点在于如何准确描述自由液面.1974年,Hirt[37]提出了任意拉格朗日–欧拉(arbitraryLagrange-Euler,ALE)法,该法理论上克服了纯拉格朗日法的网格畸变问题,又保留了其在自由液面描述方面的准确性,近年来得到了较大发展[38-43].但是对于液面破碎的问题,跟踪自由液面的连续性条件被破坏,ALE法尚无能为力.而欧拉法结合不同的自由液面描述方法已可以处理各种复杂液面情况,标记子与单元(markandcell,MAC)法[44]最早成功解决了欧拉法的自由液面描述问题,它将标记子散布到流体域内,含标记子区域与不含标记子区域之间的“边界”即为自由液面,但该法存储量大、计算精度和效率也不高;流体体积(volumeoffluid,VOF)法[45]克服了MAC法的上述缺点,它定义了一个流体体积函数F,表示单元内液体所占单元体积的比例,如F=1则该单元内充满液体、F=0则该单元内不含液体、0<F<1则该单元内必含有自由液面,再根据F函数的梯度最终确定自由液面的形状.VOF法发展到现在已经比较成熟了[46-48],Flow-3D就是采用VOF法开发的求解带自由液面流动问题的商用CFD分析软件,具有通用的三维流场建模分析模块,目前已支持64位多核并行计算.
2.3实验研究无论是理论研究,还是数值研究,它们结果的正确性常需要通过实验来检验.Abramson主编的NASA报告SP-106[4]对常重状态下各种形状容器中液体晃动的实验研究进行了系统总结.轨道上运动的航天器常处于微重力状态(残余重力加速度约在101g～106g之间,其中g为常重力加速度),此时表面张力的作用凸显出来.采用无量纲数Bond数来表征重力与表面张力的相对大小,即Bo=ρgL20/σ,其中L0为特征长度,通常取为平衡自由液面的半径.当Bond数小于100时,一般就需要考虑表面张力的影响.对于微重力状态下的液体晃动实验,主要包括地面缩比模型实验、落塔实验、空间实验等.地面缩比模型实验[49-50]通过减小特征长度来减小Bond数,这种实验方法成本较低,当然由于模型尺寸很小,实验中很难保证其他无量纲数(如雷诺数等)与实际工况相似.落塔实验[51-54]通过使落舱系统进行自由落体运动而获得微重力环境,由于空气阻力影响,落舱内的残余重力加速度一般可达到102g,若将落舱系统置于真空环境中,可将微重力降至105g～106g,但落塔实验普遍存在实验时间较短的缺点,无法观察到液体晃动的完整过程.空间实验利用空间站或实验卫星作为实验平台,可以获得长时间稳定的微重力环境,虽然成本非常高,但它无疑是最可靠、最直接的微重力实验方法,欧空局2005年发射了一颗专用于研究液体晃动特性的微重力实验卫星[55-56]—–SloshsatFLEVO,验证了他们基于VOF法开发的CFD数值计算程序Comflo的有效性[57].此外,还有飞机抛物线飞行实验[58]、微重力火箭实验[54]等,每种实验方法都有各自的优缺点,在液体晃动实验研究中需要根据实际需求适当选择.
2.4等效力学模型研究在航天器动力学分析和控制系统设计中,通常希望用简单高效的力学模型计算代替比较复杂费时的晃动流场计算.因此,工程上一般采用等效力学模型来模拟贮箱内的液体晃动,如单摆或弹簧–质量模型等,这样就将液体这一连续介质的运动用刚体运动来代替,从而可以比较容易地将液体晃动动力学方程整合到航天器耦合动力学方程中.一般我们提到的液体晃动的等效力学模型指的是在液体作小幅晃动时导出的等效力学模型.这种等效力学模型的相关研究始于20世纪60年代初,国内外学者和工程师通过理论推导、数值计算和实验分析等手段取得了大量研究成果,形成了以文献[3-4,59-60]为代表的一批文献资料.目前,理论研究最成熟、数值和实验方法结合最好且工程应用最广泛的是轴对称贮箱内液体晃动的等效力学模型.如***1所示,液体的每一阶晃动模态都对应一个单摆或弹簧–质量模型,各阶晃动模态是线性解耦的,一般一阶晃动占绝对主导地位;另外,只有靠近自由液面的部分液体参与晃动,而靠近贮箱底部的部分液体伴随贮箱运动,并不参与晃动,这部分液体将被等效成相对贮箱静止的质量点或者质量块.建立等效力学模型的原则是等效系统对贮箱的作用力、力矩及其特征频率、动能与原充液系统的完全相等[3].根据该等效原则,就可以针对不同情况,确定液体晃动的等效力学模型参数.等效力学模型参数可以由理论分析计算得到,也可以通过实验测算来确定[59],不过采用实验方法一般很难确定高于一阶的等效晃动质量,因此对于高阶晃动,只能利用理论计算方法来确定等效力学模型参数.Abramson[4]对早期的等效力学模型研究工作进行了比较系统的整理,给出了矩形、圆柱形等特殊形状贮箱内液体晃动的等效力学模型参数的解析表达式,也介绍了一阶晃动等效力学模型参数的实验测算方法.另外,液体晃动阻尼也需要在等效力学模型中反映,一般是在上述单摆或弹簧–质量模型的基础上添加一个线性阻尼器来等效液体粘性的耗散作用,而阻尼系数的大小可以通过理论计算或实验测量的方法来确定.LM由于航天器上的液体推进剂贮箱通常具有轴对称结构,并且在大部分工作状态下贮箱中心轴与重力加速度或机动加速度的方向保持一致,因此以往文献对轴对称贮箱内液体晃动的等效力学模型研究得比较深入[3-4,61-62],而对非轴对称贮箱内液体晃动的等效力学模型研究很少.然而由于现代航天器贮箱形状的复杂化,非轴对称贮箱液体晃动问题的研究逐渐体现出其重要性.即使对于轴对称贮箱,在某些工作状态下贮箱中心轴与重力加速度或机动加速度的方向不一致,如位置保持模式、推力倾斜点火模式等,也会出现非轴对称贮箱液体晃动问题.除矩形贮箱内液体晃动的等效力学模型存在解析解以外,大多非轴对称贮箱液体晃动问题不存在解析解.虽然工程上可借助实验手段来提取部分必需的等效力学模型参数[63],但实验方法往往成本较高、缺乏理论完备性.李青等[64]从一般意义上推导了三维液体小幅晃动等效力学模型,其中充液贮箱可为任意三维形状,且其运动形式包括三维平动和转动,并建立相应的数值方法计算等效力学模型参数,从而为解决非轴对称贮箱液体晃动问题提供了理论依据和应用方法.在某些液体非线性晃动问题的研究中,等效力学模型方法也得到了应用和发展.例如,针对外部激励频率与液体晃动固有频率接近时的“旋转”晃动现象,Bauer[65]使用一个非线性弹簧加质量点的等效力学模型来等效其中的液体晃动行为,Kana[66-67]利用理论推导和实验测量的方法建立了一个空间球摆与线性平面单摆的复合摆等效模型.但是,这些模型只能用来解释比较特殊的非线性晃动现象,对于一般的液体大幅晃动问题,理论上还无法得到与小幅晃动那样近似性好的等效力学模型.20世纪70年代,Berry等[68]提出了一种求解液体大幅晃动作用力的工程近似方法,即质心面等效模型,此方法将贮箱内的液体等效为质量集中在质心处的质点(即质心点),质心点只能在质心运动面上运动,通过求解质心点与质心运动面之间的法向惯性力和切向粘性力来计算液体对贮箱的作用力.黄华等[69-70]对质心面等效模型进行了改进,提出不限制质心点只在质心面上运动、而是可以在质心面包围的三维空间内任意运动,建立碰撞接触模型来计算质心点与质心面之间的法向作用力.质心面等效模型大大简化了液体大幅晃动问题的建模分析过程,使考虑液体大幅晃动的航天器耦合动力学分析和工程应用成为可能,但是由于缺乏理论支持,必须结合CFD数值计算和实验方法验证其在各种工况下的有效性.另外,对于在连续点火模式下工作的航天器,还存在着液体推进剂排放消耗的问题,在这种工况下也需要建立起液体晃动的等效力学模型.李青等[71]针对考虑液体排放的变充液比液体晃动问题,提出了变参数等效力学模型模拟方法,并定性分析了若干因素对其等效精度的影响.总之,引入等效力学模型的概念之后,可以很容易地将液体晃动动力学归纳到多体系统动力学的范畴,便于工程应用.
3液固耦合动力学研究进展
3.1充液航天器液固耦合模型综述早期的充液航天器采用弹簧–质量模型模拟液固耦合作用,利用近似方法计算充液贮箱等部段结构第一阶自然频率的等效质量和等效刚度.等效原则所基于的事实是:弹性系统的第一阶振型与静载荷情况下系统的弹性变形相差很小[72].Larry[73]提出了一种椭球底贮箱等效刚度的计算方法,研究说明考虑箱底弹性对振动频率计算具有较大影响.鲁昌鑑等[74]采用弹簧－质量模型,计算了运载火箭一、二级热分离时结构的纵向响应,取得了与飞行试验结果比较一致的计算结果.然而一些实验数据表明,弹簧－质量法在若干方面并不令人满意:例如,作为重要结构的壳体,其特性就未能准确描述;忽略了液体与箱壁、箱底等实际结构的耦合问题;对质量的集中处理带有任意性等[75].因此,弹簧–质量模型只适用于初步速算各种飞行状态的低阶振型和初步研究POGO效应.想要获得比较准确的振型(如局部斜率)或高阶模态,则必须建立更加复杂的模型,并适当地考虑液体推进剂与贮箱壳体的液固耦合作用.随着计算机技术的发展,利用数值方法建立三维充液航天器动力学模型已成为工程应用中的主要方法,大体可分为两类:一是构造液体有限元或边界元从而建立液固耦合组合单元模型的方法,一是计算液体附加质量矩阵的方法[76],其建模理论将3.2节中详细介绍.计算液体附加质量矩阵的方法是假设液体不可压缩且忽略了自由液面效应,从而消除了液体自由度,大大简化了建模和计算,已被国外多个型号运载航天器所采用.下面列举几个具有代表意义的型号[77].美国土星V是大型三级液体火箭,其主要任务是将阿波罗载人飞船送入月球过渡轨道,它全长110.64m,最大直径10.6m,起飞质量2945.95t.在实施阿波罗登月计划中,为土星V火箭设计了1/40和1/10两个动力学缩比模型.1/10缩比模型的纵向振动曾采用由壳元、液体元和弹簧–质量单元所构成的组合模型进行计算,其中液体元忽略了液体可压缩性,只构成质量矩阵[76].Larry[78]给出了仿真结果与试验结果的对比,在振型和频率上取得了很好的一致.H-II火箭是日本宇宙开发事业团研制的捆有两个固体助推器的二级液氢/液氧火箭,它全长50m,最大直径7.6m,起飞质量260t.为了预示H-II火箭的全箭动特性,建立了三维动力学模型,考虑了纵向、横向(俯仰与偏航)和扭转振动之间的耦合效应.其中,关于充液贮箱的建模,对贮箱结构采用了有限元法,而对推进剂依照边界元法将其作为附加质量处理.Morino[79]通过1/5缩比模型振动试验评价了预示方法的精度.阿里安V火箭是欧洲空间局研制的二级捆绑式大型运载火箭,它总长为52m～54m,最大直径为12.2m,最大起飞质量约713t.法国宇航公司在其开发的PERMAS有限元程序包上完成了全箭动力学建模工作[80].在运载火箭设计初期,建立了两个主要模型:一个是由梁和弹簧元组成的横向模型,用于运载火箭弯曲/扭转特性分析;另一个是带有液体网格的轴对称纵向模型,用于贮箱和推进剂纵向特性分析.其中,液固耦合作用按照附加质量理论处理,提供了某些辅助功能如可以考虑液体压缩性的影响和贮箱内压对贮箱刚度的影响等.当工程进展到足够程度,加入了某些详细的局部三维缩减模型,最后用自由界面模态综合法建立了全箭总体三维模型,研究了纵向和横向运动的耦合效应.我国在长征二号E捆绑火箭的研制过程中,建立的数学模型主要是多分支梁模型[81],用于计算火箭的横向弯曲和扭转模态.邓魁英[82]在PA-TRAN环境下分别建立了CZ-2E/A火箭1/10缩比模型的多分支梁模型和三维有限元模型,采用NASTRAN的RBE3单元模拟了液体推进剂附加于梁式模型上的质量效应,对横向振动情况下的理论预示与试验结果吻合较好.但是,计算液体附加质量矩阵的方法忽略了自由液面效应以及它与结构振动可能发生的耦合作用,属于一种近似解耦的方法.随着有效载荷的增大,运载器的体积不断增大,这时,推进剂贮箱内液体的晃动频率很低,火箭整体结构的弯曲频率也相当低,二者有可能会发生相互耦合作用而对火箭飞行稳定性产生影响.例如,Ariane-4运载火箭处在发射台上时,频率为0.43Hz的第一阶弯曲弹性振动与第三级液氧贮箱内频率为0.57Hz的液体晃动发生耦合.因此,要完全掌握三维充液航天器的动力学特性,有必要建立起完整的液固耦合模型.国外在处理充液航天器液固耦合分析问题时,曾采用耦合有限元法,实现途径是建立包含晃动自由液面的液体三维有限元模型,根据液固耦合方程将该流体模型与结构有限元模型相耦合,最后利用MSC/NASTRAN进行求解.这种方法的一个弊端就是必须建立液体的三维网格,由于实际工程中常需要计算许多不同充液状态的工况,因此大量的时间被浪费在了液体网格的划分上,特别是当贮箱内液体域的形状尺度不规则时更是如此,另外对于大型问题求解自由度大、效率低.一种有效的液固耦合建模方法是耦合有限元/边界元法[83],这种方法对固体域采用有限元法、对液体域采用边界元法,液体边界元模型只需要对液体的边界面划分网格,在已有的结构有限元模型基础上仅需要添加自由液面的网格.耦合有限元/边界元法既具有较高的液固耦合建模效率,又具有较高的理论计算精度.国内在充液容器液固耦合问题的研究上主要还处于学术研究阶段.杜建斌等[84]针对具有旋转周期性的含液容器,将旋转周期方法引入液固耦合动力特性分析,开发出一套有效的液固耦合有限元分析方法;刘习***等[85-86]研究了壳液耦合系统的自激振动问题和重力波现象;李俊宝[87]进行了弹性圆柱壳液固耦合系统的共振实验,研究了重力波和弹性壳的动力特性.但是,在航天器充液贮箱液固耦合机理研究和大规模液固耦合模型建模计算的应用研究方面,国内尚比较欠缺.
3.2液固耦合数值方法一般流体–结构耦合系统方程的特点是方程的未知变量既有流体变量又有固体变量,通常无法单独求解.对于充液容器的液固耦合问题,耦合作用仅发生在两相交界面上,当我们仅关注流体对固体结构的影响时,可将重点放在固体结构上进行研究,而对流体部分作适当简化[88].
3.2.1液固耦合组合单元法假设流体为无黏、可压缩和小扰动的,固体则考虑为线弹性的,对液固耦合系统的基本方程和边界条件,采用加权余量的迦辽金提法,可得到如其中,us为固体单元结点位移向量,uf为流体单元结点(不含液固耦合界面)位移向量,Ms和Ks分别为固体质量矩阵和固体刚度矩阵,Mf和Kf分别为流体质量矩阵和流体刚度矩阵,Msf和Ksf为耦合质量矩阵和耦合刚度矩阵,Fs为固体外载荷向量.在ANSYS中采用FLUID80流体单元求解液固耦合问题时,正是基于这种位移–位移格式的有限元方程[90].但是当液体求解域规模过大时,有限元法的建模和求解效率急剧下降,不利于工程应用.若对液体域采用边界元法,则可大大缩减液体求解域的规模,将方程(1)简化为[83]其中,uff为自由液面单元结点位移向量,Mff和Kff分别为自由液面质量矩阵和自由液面刚度矩阵,Q为耦合矩阵,其他量的物理含义与方程(1)中的相同.方程(2)可以较高效地求解液固耦合问题,但目前尚无商业软件集成该方法.除位移–位移格式之外,液固耦合系统的有限元方程还有位移–压力格式和位移–势函数格式等.
3.2.2附加质量理论和虚拟质量法假定流体是不可压缩的,同时又不考虑流体自由表面波动效应,则方程(2)式中的Mff项为零,可完全消去流体结点自由度,得到如下解耦的方程式(4)代表流体对固体的作用,称为附加质量矩阵.这时液固耦合问题退化为考虑流体附加质量的结构动力学问题.基于附加质量理论,NASTRAN采用边界元法得到附加质量矩阵,并称之为虚拟质量法(virtualmassmethod)[91].虚拟质量法避免了流体单元网格的划分,大大简化了建模过程,有利于工程应用.但是当自由液面波动效应不容忽略时,如液体晃动频率和结构振动频率发生了耦合,附加质量理论和虚拟质量法则可能产生较大误差.
4结语
本文介绍了充液航天器动力学领域中液体晃动和液固耦合两类问题的国内外研究与应用进展.根据航天工程的发展需求,本文对充液航天器液体晃动和液固耦合动力学的进一步研究方向提出以下建议：(1)在三维液体小幅晃动等效力学模型中计及微重力下的液体表面张力效应(特别是微重力状态下的液面形状)、防晃板阻尼等因素,扩大其适用范围.(2)深入研究非线性晃动的等效力学模型,建立具有理论支持的液体大幅晃动等效力学模型.(3)发展耦合有限元/边界元法求解液固耦合问题,计及自由液面波动效应,开发相应的工程应用软件.(4)综合液体晃动动力学和液固耦合动力学的优秀研究成果,建立更加高效、实用的工程数值仿真方法,不但能考虑液体对结构的附加质量效应,更能分析液体晃动乃至大幅晃动对结构动特性的影响.
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