学文网【摘要】 在初中数学中，四边形是一个知识重点，在四边形中对于四边形变成和面积的考察越来越成为中考的重点，根据四边形的各个边长之间的性质，本次研究针对四边形中的不等式来进行研究和分析，通过四边形的性质和不等式的性质，在不等式和四边形的考试中建立考点，找到知识的重点，有针对性地对此类问题进行解决.
【关键词】 四边形；不等式；比例关系
在四边形问题的处理中，学生能力的培养十分重要. 其中，反思能力在数学学习中起着至关重要的作用，我们发现在日常的数学教学中，很多时候老师只是一味强调思维能力，而没有强调反思能力. 不等式反思是数学活动的核心和动力，初中数学与小学数学相比更加强调思维性，很多时候学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，这时反思就起到了关键作用.学生通过回顾完成的解答， 重新检查和思考自己的解题思路，可以巩固学到的知识， 强化他们的解题能力，并及时的发现、解决问题. 锻炼学生的反思能力可以调动学生学习的主动性，让他们学会主动学习，从而提高学习的效率.
一、四边形的性质
判定平行四边形的几种方法，决不能让学生死记硬背，而应在木条钉做的四边形教具的帮助下，让学生通过观察去发现在何种条件下才能得到一个平行四边形. 通过***形直观感受的同时，更要重视培养学生的推理意识和能力. 教材对几何推理的淡化，并非是放弃，而是因为对这种能力的培养是呈螺旋上升的. 在关注学生动手能力的同时，教师要抓住时机对一些结果加以必要的推理论证. 如通过菱形的性质和它的判别方法（性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角. 判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形）的对比引出平行四边形的概念.
（1）引导学生根据***，叙述平行四边形的概念，引出课题.
（2）注意它与四边形的特殊与一般的关系：平行四边形是特殊的四边形，因此它具有四边形的一切性质（共性）.同时还具有一般四边形不具备的特殊性质（个性）.
（3）强调定义既是平行四边形的一个判定方法，同时又是平行四边形的一个性质.
（4）介绍平行四边形的符号表示及定义的使用方法：
① 平行四边形ABCD， AD∥BC，AB∥CD（平行四边形的定义）.
② AD∥BC，AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
二、不等式的基本性质
性质1：如果a > b，b > c，那么a > c（不等式的传递性）.
性质2：如果a > b，那么a + c > b + c（不等式的可加性）.
性质3：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc.
性质4：如果a > b，c > d，那么a + c > b + d.
性质5：如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd.
性质6：如果a > b > 0，n∈N，n > 1，那么an > bn，
三、关于四边形的一个不等式
定理 设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a，b，c，d和，则有（a2 + b2）（c2 + d2）（b2 + c2）（d2 + a2） ≥ 164. （1）
证明 设四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n，AC，BD交于O，夹角为θ，则ac + bd ≥ mn.
= 12OC·OB sin θ + 12OC·ODsin（180° - θ） + 12OD·OA sin θ + 12OA. OB sin θ = 12AC·BD sin θ ≤ 12mn，
mn ≥ 2. ac + bd ≥ 2. （2）
由柯西不等式有：
（a2 + b2）（c2 + d2） ≥ （ac + bd）2，
（b2 + c2）（d2 + a2） ≥ （ac + bd）2.
两式相乘，应用（2）即得（1）.该定理延伸至平行四边形：
在平行四边形ABCD中，有如下的结论：
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2.
在一般四边形ABCD中，有如下不等式：
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 ≤ AC2 + BD2
当且仅当ABCD为平行四边形时，不等式取等号. 本文建立了涉及四边形的一个新的更加广泛的不等式：
定理 在四边形ABCD中，用S表示面积，则AB2·SCOD + BC2·SDOA + CD2·SAOB+DA2·SBOC ≤ （AC2 + BD2）·SABCD4，当且仅当四边形ABCD为平行四边形时，不等式取等号.
四、课堂反思对四边形不等式的学习
初中阶段注意对学生的反思能力的培养，可以大大提高他们自主学习的能力，从而把孩子们从题海战中***出来，使学习变得相对轻松起来. 学生的数学反思能力不是与生俱来的，它是在学习的过程中通过老师、学生的多方努力逐渐培养起来的. 在数学教学中，有很多进行反思能力训练的方法.
1. 养成记录的习惯
学习时充分留意老师所讲的每一个细节，重要的地方要记录下来. 每节课结束后及时归纳总结自己不会、不懂的地方，并及时请教同学和老师. 养成给自己定学习计划的习惯，每天的、每周的、每月的学习目标都详细的记录下来. 定期检查自己的学习计划是否完成并及时作出调整. 根据自己所做的记录总结出习题的每种解法，对于自己不太懂的习题总结出最优解法，标出易错点. 养成记录的习惯可以总结各种经验、教训，从而帮助今后的复习.
2. 学会解题反思
学生在数学解题时需要反思的方面很多.首先，要反思自己审题时是否读透了题目，是否正确地理解了题意，是否抓住了题干. 其次，要反思自己在解题过程中是否采取了最优解题方法，是否产生计算错误，是否还有其他的解题方法. 另外，在解题后要反思如果适当地改变题目，那么解决问题的方法是否会发生变化，解题过程中还有哪些是自己需要课后强化的地方.
3. 作业反思，小结反思
利用作业可以帮助学生反思本节课的知识点、相关注意事项、解题步骤、解题技巧、思想方法、有关结论， 从而起到复习巩固的作用. 小节反思也是很好的一种反思方法，每天留出一点时间，让同学针对自己课上的疑问相互交流，进行查漏补缺，既提高了自己也帮助了别人.
学习是一个全方位、多层次、多角度的过程. 注重学生反思能力的培养可以激发学生的求知欲. 让学生学会发现问题、解决问题，从而真正达到素质教育.
五、不等式问题的例题
1. 什么叫不等式？说出不等式的三条基本性质.
2. 当x取下列数值时，不等式1 - 5x < 16是否成立？
3，-4，-3，4，2.5，0，-1.
3. 用不等式表示下列数量关系：
（1）x的3倍大于x的2倍与5的差；
（2）y 与x的差小于2；
（3）y的一半与4的和是负数；
（4）5与a的4倍的差不是正数.
以上问题都是针对不等式的一些问题，通过这些问题的思考和求解可以提升学生的解不等式能力. 在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：本节课我们将通过学习例题和练习，进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质，尤其是不等式基本性质.
六、不等式的求解要点
1. 在初等代数中，与四边形联系的不等式，占有不小的篇幅.由于不等式就其概念、解法、解集与方程有许多相似之处，在中学代数中，常常将不等式与方程平行安排，以便将它们进行比较.这不仅使学生对不等式整体结构有所掌握，而且对不等式与方程的不同点也有深刻印象.
2. 对不等式的研究过程与方程类似，包括不等式的同解理论、不等式的解法、列不等式解应用题等.初等代数对同解不等式讨论较少，而列不等式解应用题，虽然它的教育作用和方程一样是很大的，但由于需要列不等式解决的应用题较难，学生接受有困难，所以初等代数不作高要求，只是限于某些数学问题，如求函数定义域，讨论满足某种条件的、含参数m的二次方程中m的取值范围等问题的初步应用.所以，解各类不等式成为初等代数中不等式部分的教学重点.
3. 如前面所述，不等式与方程在概念、性质、解法等方面都有类似之处，但又有差别.相同的方面：不等式与方程有关概念下定义的方式类同；等式与不等式均具有传递性；解一元一次方程与解一元一次不等式的步骤一致.不同的是：方程与不等式解的结构不同，前者的解一般是有限集，而后者的解一般是无限集；等式与不等式的性质不同，前者有反身性，后者却没有，但后者具有对逆性.由于解一元一次不等式的步骤与解方程相同，学生不会感到困难. 但两边同除以未知数的系数时，常不自觉地与解方程作相同处理，因而出现错误.为此应提醒学生注意不等式与方程的不同点.这是学好不等式的关键.
【参考文献】
[1]顾宏萍.面对中考的数学总复习[A].《新时代的脚步声》之五——现代教育新论[C].2002.
[2]王金伟.高考化学总复习之我见[A]；《新时代的脚步声》之五——现代教育新论[C].2002.
[3]宋茜.初中数学分层教学的实践与思考[A]；中国重汽科协获奖学术论文选编（2000-2001）[C].2002.
[4]黄绍轩.浅谈初中数学教学中探索性思维的培养[A]；第三届广西青年学术年会论文集（自然科学篇）[C].2004.
转载请注明出处学文网 » 探析四边形的一个不等式