学文网摘要: 如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个知识肯定是很重要的,而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容。本文运用二次型理论、欧式空间中内积性质和詹森(Jensen)不等式三种方法证明柯西不等式,并简要说明柯西不等式与高等数学之间的联系。
Abstract: If the knowledge was closely related the many disciplines or many branches of a discipline,then this knowledge is certainly important,but the quadratic form,european space inner product,Jensen inequality are basic content of algebra,real letters,calculus in higher mathematics. In this paper,quadratic form theory,the European space inner product nature and Jensen (Jensen) inequality are three ways to prove cauchy inequality,and bthe relation between Cauchy inequality and higher mathematics was illustrated briefly.
关键词: 柯西不等式;二次型;内积;詹森不等式
Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality
中***分类号:O13文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)11-0210-01
1 柯西不等式的内容
设a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn为任意实数,则不等式abab成立。当且仅当ai=kbi(i=1,2,…,n)取等号,这就是著名的柯西(Cauchy)不等式。这个不等式结构对称,在数学的许多方面都可以应用。现给出几种证明方法,以资参考。
2柯西不等式的证明
2.1 利用二次型理论证明
证明:记f(x1,x2)=(a1x1+b1x2)2+(a2x1+b2x2)2+…+(anx1+bnx2)2
=(a+a+…+a)x+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x1x2+(b+b+…+b)x
=X′AX
其中X=xx,A=a abab b
显然f(x1,x2)0,即f(x1,x2)是半正定的
A0,即a•b-ab0
又当且仅当a1x1+b1x2=a2x1+b2x2=…=anx1+bnx2=0
即==…=时,f(x1,x2)=0
此时A=0,即a•b-ab=0
2.2 利用欧式空间中内积性质证明
命题设a1,a2,…,am是n维欧式空间V的一组向量,而
A=(α,α)(α,α)…(α,α)(α,α)(α,α)…(α,α)… … … …(α,α)(α,α)…(α,α)
证明:当且仅当A≠0时,α,α,…α线性无关。
下面利用欧式空间中内积性质证明柯西-布涅科夫斯基不等式。
定理:在实内积空间中,对任意的向量α,β有(α,β)αβ,等号成立当且仅当α,β线性相关。
证明:在平面几何中,当线性无关时,
1>cos(α,β)=
即(α,β)2(α,β)(β,β)
在一般欧式空间中,α,β线性无关时,由α,β两向量生成的欧式空间与平面上向量全体所成欧式空间同构,所以
(α,β)2(α,β)(β,β)成立。
由上述命题知
(α,β)2=(α,β)(β,β)(α,α)(α,β)(β,α)(β,β)=0 α,β线性相关
于是定理得证。
作为柯西-布涅科夫斯基不等式的特殊情况,在实线性空间Rn中,令α=(a1,a2,…an),β=(b1,b2,…,bn),并定义内积如下:
(α,β)=ab
立即可得到柯西不等式:
abab
2.3 利用詹森(Jensen)不等式证明
考察函数φ(x)=x2,(x>0),φ′(x)=2x,φ″(x)=2>0,故φ(x)=x2是(0,+∞)上的凸函数,由詹森(Jensen)不等式
(其中,P>0,k=1,2,…n),
得PxPPx
上式中令P=b,x=即Pxba,从而不等式成立。
3结束语
如果某一知识跟很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个知识肯定是很重要的,而二次型、欧式空间内积、詹森不等式都是高等数学中代数、实函、微积分的基本内容。要运用这些方法来证明柯西不等式,我们必须非常熟悉相关内容以及有丰富的联想和创新精神。
参考文献:
[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社,2001.
[2]丘维声.高等代数(上册).北京:高等教育出版社,1996.
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