学文网概率论试题篇1
一、教学任务分析
1.内容分析与处理
在七年级上、下册中，教材已经呈现了随机事件并介绍了随机事件的等可能性、随机事件的概率等有关基本概念。此外，通过探求抛掷一枚均匀硬币正、反面分别朝上的概率，渗透了运用某一随机事件出现的频率估计该随机事件的概率的思想方法。
本章的主要内容有两项，一是利用树状***和列表法计算“从两组相同的牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为3的概率”；二是通过试验方法确定某一随机事件发生的概率，特别是理论上无法求得的，或是理论上可以求得但超出学生现阶段的认知水平的随机事件发生的概率。从上述两项内容的课时分配情况来看，本章正文共计7课时，其中至多2课时用于第一项内容。可见，通过试验方法确定某一随机事件发生的概率是本章的主要内容。同时，通过多次试验，用某一随机事件出现的频率估计其理论概率也是本章核心的数学思想。
本章的第1节共计3课时。第一课时的内容是：通过试验和类比的方法，揭示“频率与概率”的关系，第二、三课时的内容是利用树状***和列表法计算设计两步试验的随机事件的概率。
从教科书的编写意***来看，第一课时的主要目的是：“探索出‘试验次数很大时试验的频率趋于稳定’这一规律，然后通过与七年级下册相应内容的类比，得出频率稳定值与理论概率之间的关系”。
但值得注意的是，在学习七年级下册相应内容，即利用试验估计“抛掷一枚均匀硬币，正面朝上”的概率时，学生并不知道“硬币正面朝上”的概率是多少，而是通过试验才建立了相关的经验(“硬币正面朝上”的概率为1／2)。而本课时是要探索该随机事件发生的频率与其概率的关系。试想，如果事先不知道随机事件的概率，那么又怎么能够把频率与概率进行比较，进而发现它们之间的关系?因此，在探：索频率与概率的关系之前，应引导学生求得该随机事件的理论概率，然后通过试验的方法，进一步探索频率与概率之间的关系。只有这样才能在频率与概率之间建立起真正的联系，让学生相信：“当试验次数较大时，随机事件发生的频率稳定在其概率附近，并可用频率估计这一随机事件发生的概率”。
2.学情分析
能否通过计算求得两步试验的随机事件的概率是本节课探索频率与概率关系的前提。
在七年级学生已经学习了随机事件、等可能随机事件、随机事件的概率等基本概念，会计算简单的等可能事件的概率，并了解用试验的方法去估计随机事件的概率的思想方法。此外，对于九年级的学生，总体上逻辑思维能力有了较大发展，因此，通过小组研讨，学生能够求得具有两步试验的等可能事件的概率。
3.资源分析
本节课将利用计算机模拟试验和Excel的统计功能进行数据生成、处理以及描述等工作。特别是通过计算机模拟试验能够在短时间内完成大量的试验，增加试验次数，从而更好地呈现出多次试验才可能出现的频率稳定性，进而强化视觉感受，增强学生对所得结论的认同程度。
4.教学目标
依据上述三个方面的分析，可确定本课时的教学目标如下：
(1)通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定与概率，并可据此估计某一随机事件发生的概率。
(2)通过猜想、试验、观察等活动，发展合情推理能力。
(3)通过小组内和小组间的交流，发展学生口头表达能力。
(4)通过共同完成试验活动，发展学生合作的能力。
(5)在收集、整理、分析数据的过程中，形成学生实事求是的态度，敢于质疑和***思考的习惯，以及进一步合作交流的：意识；通过人人参与的试验和同学之间的互助，让每一位学生都能理解所学内容，进而增强学好数学的信心。
5.教学重点
通过学生亲自动手试验和观察计算机模拟试验，探索频率与概率的关系。
6.教学难点
理解“试验次数很大时，频率稳定于理论概率”这一结论。
二、教学过程设计
活动一：创设情景。提出问题
某商场每天大约有3000名顾客光顾，为吸引更多顾客，举办抽奖活动，具体过程如下：
顾客从装有一黄一白两球(除颜色外，两球相同)的盒子中分别摸球两次(每次只允许摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出第二个球)，把两球颜色记录下来，作为一次抽奖的结果。
如果你是本次活动的策划者，根据上述方法，本次抽奖活动能设置几个等级?哪一个结果设为一等奖更合适?谈谈你的理由。
设计意***
1.设计这个问题的根本目的是，通过***思考和交流，唤醒学生已有的知识经验，引导学生发现三种可能的抽奖结果，并能够创造性地求出每种随机事件(可能的抽奖结果)发生的概率，从而为探索频率与概率的关系打下伏笔(摸球所研究的是频率，二者之间到底有没有相应的关系，有什么样的关系?)。
2.来自于学生现实生活的问题情景和开放式的问题设计，更有利于激发学生解决问题的积极性。通过解决问题，使学生体验到日常生活问题中存在着数学规律，反过来，运用这样的数学规律可以解决生活中的问题。
3.试验在设计上与教材给出的素材意义相同，且实际操作时更有利于体现随机性。
活动二：动手试验。探索规律
1.试验设计
回顾“抛掷一枚均匀硬币正面朝上的概率”试验过程，请你设计一个摸球的试验方案，估计摸到两球的颜色为“一黄、一白”的概率。
2.摸球试验实施
(1)三个人合作，试验并记录试验次数和频率。在10分钟内，看哪一组试验次数最多；
(2)教师利用电子表格(Excel)统计每一组的数据，并将其转化成频率折线统计***展示出来；
(3)教师帮助学生汇总各组数据，生成全班的频率折线统计***并展示；
(4)观察全班的折线统计***，初步探索变化规律。
3．计算机模拟试验
利用计算机进行较大次数(几千次，或几万次)的模拟试验，并绘制折线统计***。学生观察折线统计***，进一步感受频率的变化情况。
4.归纳总结，得出规律：当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率。
设计意***
1.让学生设计试验，而不是教师设计试验，即，学生出主意想方法，其目的是使学生明确试验的目的，理解并把握试验程序及意义，进而在试验中不断地校验自己的行为，克服被动执行教师的指令而不知所为的弊端。这样设计活动也有利于发展学生的认知自我监控能力，有利于提高学生的原认知水平，使学生的学习活动达到“做数学”的水平，从而培养学生创新的意识和能力。
2.以小组合作的方式进行试验可以尽快增加试验次数。同时可以在试验中促进学生的合作意识和交流能力。
3.在通过小组合作初步感受频率变化的基本特征的基础上，利用计算机的模拟功能在短时间内完成更多次试验，以弥补学生动手试验次数不足可能产生的“误差”，使学生的思维不知不觉地从亲自动手获得直接体验过渡到计算机“动手”获得间接体验，使学生多得一个更为精准可信的结果，进而增加学生对结论的认可程度。
值得注意的是，仅仅通过学生进行有限次的试验，其结果完全有可能体现不出频率趋于稳定的特征，甚至可能得出频率稳定于其他某一数值而非理论概率值。这种情况下，由于学生的亲身体验胜于教师的说教，即便教师指出试验过程中可能出现的种种误差或试验次数不够多等因素，学生的“不良”体验也将会严重地影响学生对“频率稳定与理论概率”的信任程度。此时学生的动手试验不但未能得出结论，反而影响了学生对结论的认可程度，最终只是不得不“屈服于”书本和教师。正是基于此种原因，计算机技术在本课时中的使用，真正起到了对教学的辅助作用，不可替代。
4.通过归纳总结，学生把自己感悟到的东西用语言表述出来，这一过程，不仅完成了默会知识向明确知识的转化，使活动的结果提升到更高的数学化层面上来，而且发展了学生的合情推理能力和口头表达能力，促进了思维的发展。
5.通过活动二，学生经历了“猜测――试验设计――收集数据――分析试验结果――估计概率”的完整过程，初步体会科学研究的基本过程。
活动三：问题拓展、总结提升
1.利用计算机探索两次都摸到黄球或两次都摸到白球的频率变化情况。
2.确定不均匀瓶盖盖面着地的概率。
设计意***
1.利用计算机技术，对另外两种情况中的一种情况进行模拟试验，再一次观察频率的变化情况，探索频率与概率的关系，从而进一步验证和强化上述结论。
2.“不均匀瓶盖”问题不是等可能事件问题，因此，学生不能利用理论分析的方法解决问题。通过求“不均匀瓶盖盖面着地”这一随机事件发生的概率，可以使学生进一步认识到，利用试验方法确定随机事件概率的数学思想。
“不均匀瓶盖盖面着地”问题并不需要学生在课堂上动手试验，只要学生能想到用试验方法解决即可。
活动四：回顾小节，布置作业
1.回顾反思本节课的学习收获。
2.作业：探索不均匀瓶盖落地，盖面朝上的概率。
设计意***
概率论试题篇2
1 什么是贝叶斯推理
早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1761)曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设H[，1]，H[，2]…互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[，i]，i=1，2，…，现观察到某事件A与H[，1]，H[，2]…相伴随而出现，且已知条件概率P(A/H[，i])，求P(H[，i]/A)。贝叶斯公式（发表于1763年）为：
P(H[，i]/A)=P(H[，i])P(A/H[，i])/[P(H[，1])P(A/H[，1])+P(H[，2])P(A/H[，2])…]
这就是著名的“贝叶斯定理”，一些文献中把P(H[，1])、P(H[，2])称为基础概率，P(A/H[，1])为击中率，P(A/H[，2])为误报率[1]。现举一个心理学研究中常被引用的例子来说明：
参加常规检查的40岁的妇女患***癌的概率是1%。如果一个妇女有***癌，则她有80%的概率将接受早期胸部肿瘤X射线检查。如果一个妇女没有患***癌，也有9.6%的概率将接受早期胸部肿瘤X射线测定法检查。在这一年龄群的常规检查中某妇女接受了早期胸部肿瘤X射线测定法检查。问她实际患***癌的概率是多大？[2]
设H[，1]＝***癌，H[，2]＝非***癌，A＝早期胸部肿瘤X射线检查（以下简称“X射线检查”），已知P(H[，1])=1%，P(H[，2])=99%，P(A/H[，1])=80%，P(A/H[，2])=9.6%，求P(H[，1]/A)。根据贝叶斯定理，P(H[，1]/A)=(1%)(80%)/[(1%)(80%)+(99%)(9.6%)]=0.078
心理学家所关心的是，一个不懂贝叶斯原理的人对上述问题进行直觉推理时的情形是怎样的，并将他们的判断结果与贝叶斯公式计算的结果做比较来研究推理过程的规律。因此有关这类问题的推理被称为贝叶斯推理。
2 贝叶斯推理研究概况
2.1 基础概率忽略现象的发现与争论
Kahneman和Tversky开辟了概率推理这一重要的研究领域。他们在20世纪70年代初期的研究首先发现，人们的直觉概率推理并不遵循贝叶斯原理，表现在判断中往往忽略问题中的基础概率信息，而主要根据击中率信息作出判断。他们一个经典性的研究[3]是：告知被试100人中有70人是律师，30人是工程师，从中随机选出一人，当把该人的个性特征描述得象工程师时，被试判断该人为工程师的概率接近0.90。显然被试忽略了工程师的基础概率只有30%。后来他们还采用多种问题验证基础概率忽略现象[4]，如让被试解决如下出租车问题：一个城市85%的出租车属于绿车公司，15%属于蓝车公司，现有一出租车卷入肇事逃逸事件，根据一目击者确认，肇事车属于蓝车公司，目击者的可靠性为80%。问肇事车是蓝车的概率是多少。结果大多数被试判断为80%，但如果考虑基础概率则应是41%。
这一研究结果引发了20世纪70年代以来的大量研究。有研究支持其结论，如Eddy用前述***癌问题让内科医生判断，结果95%的人判断介于70%～80%，远高于7.8%[2]。Casscells等人的研究结果表明，即使哈佛医学院的工作人员对解决如***癌和与之相类似的问题都出现同样的偏差[5]。
但也有研究发现，在许多条件下，被试对基础概率的反应是敏感的。例如，如果问题的措辞强调要理解基础概率与判断的相关性[6]或强调事件是随机抽样的[7]，则基础概率忽略现象就会减少或消除。另一个引人注意的是Gigerenzer和Hoffrage1995年的研究，他们强调概率信息形式对概率判断的影响。采用15个类似前述***癌的文本问题进行了实验，问题的概率信息用两种形式呈现，一种沿用标准概率形式（百分数）；一种用自然数表示的频率形式，如“1000名妇女中有10名患有***癌，在患有***癌的妇女中8名妇女接受早期胸部X射线测定法检查，在没有患***癌的990名妇女中有95名接受早期胸部X射线测定法检查”。结果在频率形式条件下，接近50%的判断符合贝叶斯算法，而在标准概率条件下只有20%的判断符合贝叶斯算法[8]。
而另一些研究者对此也提出异议，有人认为他们在改变信息形式的操作中，同时也改变了其他的变量。如Lewis和Keren[9]提出这种概率信息的改变使原来的一般性问题变成了当前单个情境的具体问题，因而问题变得容易，被试判断的改善不能说明他们的计算与贝叶斯计算一致。另外Fiedler认为[10]，他们进行频率形式的操作为所有数据提供了一个共同的参照尺度——即所有数据都是相对于总体（1000名妇女）而言的，依靠它所有的数据变得容易比较。很明显，接受X射线检查并患***癌的妇女的数量(8)与接受X射线检查并无***癌的妇女的数量(95)相比或与接受X射线检查的妇女总数(103)相比都是非常小的。相反，在标准概率条件下，没有共同的参照尺度，表面上击中率(80%)远高于误报率(9.6%)，但它们是相对于大小不同的亚样本，而不是相对于总体，不能在同一尺度上进行数量比较。于是他们用4个问题进行了2（数据比较尺度：共同尺度／非共同尺度）×2（数据形式：标准概率／频率）的被试间设计，实验结果表明：不管采用哪一种数据形式，被试在非共同参照尺度条件下，判断准确性都低，在共同参照尺度下，判断准确性高。所以判断准确性与数据形式无关。
可见，人们在概率判断中忽略基础概率是不是一种普遍现象，不同的研究之间存在较大分歧。这将促使研究者们采用各种方法对人们的概率判断推理过程进行更深入的探讨。
2.2 贝叶斯推理问题的研究范式
为了探讨上述问题，人们采用了不同的研究范式。从已有的研究看，贝叶斯推理的研究范式主要有两种，一种是文本范式，一种是经验范式。
文本范式是实验中的问题以文本的形式直接提供各事件的基础概率和击中率、误报率等信息，让被试对某一出现的事件作出概率大小的判断。如前述的***癌问题，工程师问题，出租车问题等的研究就是采用这一范式。
然而，在实际生活中，人们进行概率判断需要从自己经历过的事件中搜集信息，而不是像文本范式那样被动得到这些信息。经验范式便克服了文本范式的这一缺陷。经验范式就是在实验中让被试通过经历事件过程，主动搜集信息来获得基础概率、击中率和误报率等各种情况的信息，然后作出概率判断。
例如，Lovett和Schunn[11]为了探讨基础概率信息和特殊信息对被试解决问题策略的影响，利用建筑棒任务(Building Stick Task，BST)进行了实验设计。对于一个给定的BST问题来说，计算机屏幕下方提供3条不同长度（长、中、短）的建筑棒并在上方显示一条一定长度的目标棒，要求被试用建筑棒通过加法（中棒＋短棒）策略或减法（长－中或短棒）策略制造目标棒。被试只能凭视觉估计每条棒的长度，迫使他们不能用代数方法而只能用策略尝试来解决问题。基础概率是两种策略解决问题的基本成功率；特殊信息是建筑棒与目标棒的接近类型对选择策略的暗示性和所选策略成功的预见性：长棒接近目标棒则暗示使用减法策略，中棒接近目标棒则暗示使用加法策略，如果暗示性策略成功表明该策略具有预见性，否则为非预见性。问题设计时，在200个任务中控制两种策略基本成功率（偏向：一策略高（如70%），另一策略低（如30%）；无偏向：两策略各50%）和暗示性策略对成功预见性的比例（有预见性：暗示性和非暗示性策略成功率分别为80%和20%；无预见性：暗示性和非暗示性策略成功率各50%）。研究者对被试在尝试上述任务前后分别用10个建筑棒任务进行了测试，发现被试在尝试前主要根据特殊信息选择策略，在尝试后主要依据两种策略的基本成功率信息选择策略。说明人们在尝试200个任务后对尝试中的基础概率信息的反映是敏感的。
经验范式的优点在于，实验操作过程非常接近人们在日常生活中获得概率信息以作出判断的情况，较为真实地反映了人们实际的表征信息和作出概率判断的过程。所以许多研究者采用了这一范式[12-14]。
但研究范式的变化并没有能消除前述的争论，在不同的研究范式下都存在人们对基础概率信息的忽略或敏感现象，并出现了各种对基础概率信息忽略或敏感现象进行解释的理论。
3 几种主要理论
如前所述，人们进行概率判断时，在一些条件下忽略基础概率，在另一些条件下并没有忽略基础概率。那么，人们是如何作出判断的呢？哪些因素在影响人们的概率推理呢？对此，不同的研究者提出了不同的观点。
3.1 启发法策略论
Kahneman和Tversky认为人们直觉的概率推理受认知策略的影响，这是一种依赖于经验的判断或猜测。所以，经常会作出错误的判断。主要的认知策略包括“代表性启发法”和“可得性启发法”。
代表性启发法是指人们倾向于根据样本是否代表或类似总体来判断其出现的概率，愈有代表性的，被判断为出现的概率愈大，愈少代表性的被判断为出现的概率愈小。例如，在他们的研究中，要求被试估计某城市有6个孩子的家庭中，男(B)女(G)儿童出生顺序为GBGBBG和BGBBBB（B代表男孩，G代表女孩）的比例，结果大多数被试估计前者远高于后者[3]。因为前者更能代表整个人口中的比例，其次它看起来更随机。但从机会来说，两者的概率应是相等的。
可得性启发法是指人们倾向于根据某现象在知觉或记忆中容易得到的事例来估计其出现是概率，如他们在实验中要求被试估计英语中以字母R、L、N、K、V开头的单词数和以它们为第三个字母的单词数，结果绝大部分被试估计前者远多于后者[15]。但实际上前者是的基础比例远低于后者的基础比例。判断错误的原因在于人们更容易回忆出以这些字母开头的单词，而不容易回忆起它们在中间位置的单词。这与人们的记忆组织有关。
3.2 自然抽样空间假说
Gavanski等[16]认为判断一个事件出现的概率时，人们从什么范围抽取一样本有一种自然的抽样倾向，他们称之为“自然抽样空间”，如果直接从自然的抽样空间中抽取的样本对判断事件的概率是无偏差的，则被试容易作出准确的判断；但若要求被试从非自然抽样空间中抽样才能正确判断事件的概率，则被试容易作出错误的判断。如前述***癌问题，被试从患***癌的人群中抽样来判断接受X射线检查的概率较为自然，因为被试更容易认为患***癌的人要接受X射线检查。但实验任务是要求从接受X射线的人群中抽样来判断患***癌的概率，这与被试的自然抽样方向相反，导致被试对问题进行了错误的表征，对照贝叶斯公式，被试的错误是把P(H[，1]/A）表征为P(A/H[，1])，刚好与问题的要求相反，从而作出了错误的判断。
3.3 频率效应论
Gigerenzer和Hoffrage[8]同意自然抽样的观点，但他们所指的“自然”是人们加工概率信息的自然方式，认为人们是通过事件的频率而不是标准概率（百分数）来获得环境信息的，虽然两种信息形式的意义相同，但人们对具有同等意义的不同外部信息形式会产生不同的心理表征。他从进化论的角度出发认为，人类进行概率推理已经进化了一种认知算法规则系统，它不适合加工以百分数表示的标准概率信息，而适合加工以自然数表示的频率信息，因为标准概率是在概率论发展以后才被人们认识的，而频率在人类进化的早期就被认识了，所以人们对事件的频率容易编码而且几乎是自动的，而对标准概率难于编码。因此，它们预言当问题的陈述从标准概率形式转变为频率形式时，对条件概率的直觉推理会得到显著改善，并在前述的他们的实验中得到了支持。如果被试在判断中是忽略基础概率的，那么在标准概率改为频率形式时也应表现出来，但他们的实验表明加工频率信息的被试判断的准确性明显高于加工标准概率信息的被试。然而，正如前面所述，他们的结论也受到其他研究的挑战。
3.4 抽样加工理论
Fiedler[10]认为对概率判断最根本的影响既不是抽样方向也不是概率信息形式，而是抽取不同样本所得的数据需要进行不同的认知加工。概率判断中的认知加工分为两个过程，一是归纳加工过程，即利用记忆中或知觉到的样本进行的概率估计，如旅行前根据自己的经验估计某个地区为晴天或雨天的概率。然而，由于受许多主观（如个人偏好、期望等）和客观条件（如过去的经验是在一定时空下获得的）的限制，根据可利用的样本来估计概率会存在许多潜在的偏差，所以，要作出正确的判断就必须调整抽样过程中潜在的偏差，这是一个元认知控制过程，通过它，不同来源的样本得到整合并运用于最后的概率判断，这需要运用大量基于规则的元认知操作，包括使用逻辑规则、概率演算、统计学知识或元认知知识。如变换在不同尺度上估计的数量、颠倒条件概率、对来源于有偏差的样本进行矫正等。
判断者之所以忽略基础概率而不遵循贝叶斯原理，是因为他们缺乏元认知手段，不能调整在抽样过程中潜在的偏差。为验证此结论，他们用4个问题（在此仅以***癌为例）在计算机上设计了A、B两种卡片盒，分别让两组被试自己搜索信息，告知被试A卡片盒的每张卡片正面标明是否患有***癌的案例，背面告知是否参加X射线检查，B卡片盒中每张卡片的正面和背面与前一个卡片盒的卡片内容相反，设计时设定基础概率、击中率和误报率。屏幕的左边行显示正面内容，右边小窗口显示反面内容，被试点击左边行后才出现右边窗口的反馈信息，确认后左边行变成灰色，右边窗口消失。信息搜索完毕时，屏幕底部显示一刻度尺，用于被试标示判断接受X射线检查的妇女患***癌的概率。这样，看A卡片盒的被试明显觉得***癌的击中率高，非***癌的击中率低，但做判断时需要进行问题角度的转换；而看B卡片盒的被试明显了解到接受X射线检查的妇女中患***癌的案例很少，并可直接运用于问题判断。结果表明：从B卡片盒获取信息的被试判断准确性高，从A卡片盒获取的被试判断准确性低。从而验证了他们的结论。
4 小结
贝叶斯推理在过去近30年中得到了较为广泛的研究，特别自Kahneman和Tversky发现人们直觉的概率判断忽略基础概率现象以来，出现了许多理论和研究方法的更新，这些都深化了对这一问题的研究。这些研究既揭示了人们概率估计中常见的认知错误，也为人们进行贝叶斯推理至少提供了以下启示：首先，必须注意事件的基础概率，基础概率小的事件，即使某种击中率较高，其出现的总概率仍然是较小的。如现实生活中中奖的机会等就是小概率事件。其次，应该对信息的外部表征作理性的分析，不应受一些表面特征所迷惑。如击中率的高低并不决定该事件出现概率的高低。第三，不能过分相信经验策略（如代表性启发和可得性启发）。虽然经验策略有时能减轻人们的认知负荷并导致正确的概率估计，但也在许多情况下会误导我们的判断。如不要因为舆论经常宣传癌症对人们生命的威胁就认为癌症致死的概率比心脏病致死的概率更高。当然，贝叶斯推理问题仍然值得做更进一步的研究，如人们对概率信息的内部加工过程及其特点，对基础概率、击中率或误报率的敏感或忽略及其所依存的条件以及研究方法和手段的改进等。
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概率论试题篇3
【关键词】随机现象 可能性 概率 随机结果
【中***分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）20-0084-02
随着社会的进步，人们认识水平的不断提高，随机现象愈来愈受到人们的关注，普通人对概率知识的需求也越来越强烈。美国在21世纪中学数学教学的基本要求中明确提出：中学生要掌握概率的基本概念，以确定未来事件发生的可能性，用于预测选举结果、生意前景、比赛结果、研究结果等，把概率应用于决策过程之中。我国近来也已把概率统计初步知识普及到了小学课程中，真正做到了从娃娃抓起。然而，现实中仍有一部分人对概率概念存在模糊认识。概率是什么，怎样正确理解随机现象呢？下面谈一下笔者的看法，供大家思考。
一 概率的三种定义形式及由此引发的思考
1.概率的统计学定义
由上表得出结论：随着试验次数的逐渐增多，正面向上这一事件发生的频率总在0.5附近摆动，而逐渐地稳定于0.5，数字0.5就称为抛硬币试验正面向上这一事件发生的频率。这时我们也认为它的概率为0.5。这就是概率的统计定义。从这个定义的过程中我们不难看出：随机事件的概率不能从试验中直接得到，无论我们进行多少次试验，也不可能从试验本身得到这个精确值0.5。而且，这个值也不是频率的极限值，而只是我们认为的一个稳定值。大家也许会产生疑问：这个值为什么不取0.49、0.499、0.501、0.5001……呢？结论是：概率不是频率的近似，也不是频率的极限，是大量次试验所得频率的一个稳定值。我们完全可以通过大量次试验接近它。历史上第一个对“当试验次数逐渐增大，频率稳定在其概率上”这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最著名的学者雅各布贝努利（公元1654年～1705年）。相同条件下一个事件发生的概率是一个常数，而频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，该常数就是概率。所以用频率估计出来的概率是不准确的，会有误差。
2.概率的公理化定义
1933年苏联数学家AH柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义。设E为任一随机试验，A是它的一个事件，对事件A赋予一个实数P（A），若P（A）满足非负性（P（A）≥0）和规范性（P（A）在0和1之间），则称P（A）为事件A发生的概率。这就是概率的公理化定义。我们可以想象数值P（A）是怎么得出的。我们不会疑惑为什么要赋值、怎样赋值、为什么不赋其他数值？显然定义本身并没有给出明确的答案。
3.概率的古典定义
设某随机试验E的样本空间是由n个（有限）基本事件组成，每次试验中每个基本事件的发生都是等可能的，若事
件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为 ，这就
是概率的古典定义。普通人容易接受这个概念，而且是最实用的、最原始的。因此，称为古典概率定义。然而，它也有明显的局限。试想定义中的等可能是怎么得到的，怎样保证等可能？基本事件是无限多时怎么办？
从以上概率的三种定义形式，我们可以得出这样的结论：概率是随机现象本身所固有的属性，是偶然现象之中的必然，是不定事物中的确定结果，是随机事件结果发生可能性的定量表示，我们可以量化它。但是，用确定值表示不确定情况本身就有缺陷，概率论和其他数学理论一样，往往寻求最规则、最理想、最简单的问题解决模式（如古典概型、贝努利概型），它的结论是基于逻辑而不是直观。如抛硬币试验正面向上的概率为0.5，它就是一个理想、规则、合理化的数字，它是由逻辑推出的。这种试验符合理想状态，试验人、试验器具也完全符合理想规则。总之，严格的推理比感官知觉的对象更真实，因为感官的对象是易变的、不完备的，而理想的东西是永恒的。如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在。数学家们对这个问题的探索持续了近三个世纪，17世纪末逐步形成并诞生了概率论。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论使概率论更加完善。
二 对现实生活中两个随机现象的概率解释
1.对“某地区明天下雨的概率为0.8”的理解
这句话有以下两层意思：（1）说明了过去发生的情况。它表明在过去有记录的若干年中，类似气象条件下有80%的时候下雨了，这种是已经发生了的，统计结果是准确无误的。（2）可以推断明天的情况：明天下雨的可能性大些，但具体是否下雨不确定。我们不能说概率大就发生，甚至，明天下雨的概率为0.99，也不一定下雨。我们要有正确的思想认识，概率是针对大量重复试验而言的，试验反映的规律并非在每一次中都反映出来。从这个意义上来看，即使某一事件发生的概率很大，在一次试验中也不一定发生；同样某一事件发生的概率非常小，在一次试验中也可能发生，发生的概率是0.01和0.99在对试验的结果确定上没有质的区别。这些思想对我们处理现实问题是有帮助的，我们尽可能地避免做必输无疑的事情，但也不能忽略细小的安全问题。
2.对购买体育的看法
从上面的计算可知，它们中奖的可能性是相同的，即为十万分之一，这完全符合随机现象结果随机性的理论。不然，数学家就不工作而转去了。一些彩民往往费尽心思寻找数字发生的规律性，甚至有的说应验了自己总结的规律，猜到了结果，这纯属巧合，从概率本身来讲这种规律是不可靠的，下一次发生什么结果是不可预测的，所以说行业无专家。我们必须认清理论的指导性，以平常心看待随机结果。不中大奖是正常的，中了则是出现了奇迹，是小概率事件发生了。但是，随着彩民的不断增多和投入时间的延长，产生大奖是可能的，这就是小概率事件发生的规律性。
参考文献
概率论试题篇4
概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。
走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率；生产、生活更是离不开概率。在令人心动的摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，也成了城乡居民经济生活中的一个热点。
据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少购买者的共同心态。那么，购买真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：
由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。
体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可***。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：
日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。 转贴于
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。
概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。 因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。
概率论试题篇5
论文摘要:从教学内容、教学安排、教学形式、以及对该课程的考核方法等方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。
《概率论与数理统计》是研究随机现象客观规律的一门学科，是全国高等院校数学以及各工科专业的一门重要的基础课程，也是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。该课程处理问题的思想方法与学生已学过的其他数学课程有很大的差异，因而学生学起来感到难以掌握。大多数学生感到基本概念难懂，易混淆、内容抽象复杂，难以理解、解题不得法、不善于利用所学的数学知识和数学方法分析解决实际问题。为此，笔者从教学安排、教学内容、教学形式和考核方法4个方面对《概率论与数理统计》的教学进行了研究和探讨。
1教学内容和安排
《概率论与数理统计》的内容以及教师授课一般都存在着重理论轻实践、重知识轻能力的倾向，缺少该课程本身的特色及特有的思想方法，课程的内容长期不变，课程设置简单，一般只局限于一套指定的教材。《概率论与数理统计》课程内容主要包括3大类：①理论知识。也就是构成本学科理论体系的最基本、最关键的知识，主要包括随机事件及其运算、条件概率、随机变量、数字特征、极限定理、抽样分布、参数估计、假设检验等理论知识，这些是学习该课程必须要掌握的最重要的理论知识。②思维方法。指的是该学科研究的基本方法，主要包括不确定性分析、条件分析、公理推断、统计分析、相关分析、方差分析与回归分析等方法，这些大多蕴涵在学科理论体系中，过去往往不被重视，但实际上对于学生知识的转化与整合具有十分重要的作用。③应用方面。《概率论与数理统计》在社会生活各个领域应用十分广泛，有大量的成功实例。
因此，在课程设置上，不能只局限于一套指定的教材，应该在一个统一的教学基本要求的基础上，教材建设应向着一纲多本和立体化建设的方向发展。在教学进度表中应明确规定该门课程的讲授时数、实验时数、讨论时数、自学时数(在以前基础上适当增加学时数)，这样分配教学时间，旨在突出学生的主体地位，促使学生主动参与，积极思考。
2教学形式
1)开设数学实验课教学时可以采用以下几个实验：在校门口，观察每30s钟通过汽车的数量，检验其是否服从Poisson分布；统计每学期各课程考试成绩，看是否符合正态分布，并标准化而后排出名次；调查某个院里的同学每月生活费用的分布情况，给出一定置信水平的置信区间；随机数的生成等等。通过开设实验课，可以使学生深刻理解数学的本质和原貌，体味生活中的数学，增强学生兴趣，培养学生的实际操作能力和应用能力。
2)引进多媒体教学多媒体教学与传统的教学法相比有着不可比拟的优势。一方面，多媒体的动画演示，生动形象，可以将一些抽象的内容直观地反映出来，使学生更容易理解，同时增强了教学趣味性。如在学习正态分布时，可以指导学生运用Matlab软件编写程序，在***形窗口观察正态分布的概率密度函数和概率分布函数随参数变化的规律，从而得出正态分布的性质。另一方面，由于概率统计例题字数较多，抄题很费时间。制作多媒体课件，教师有更多的精力对内容进行详细地分析和讲解，增加与学生的互动，增加课堂信息量。对于教材中的重点、难点、复习课、习题课等都可制作成多媒体课件形式，配以适当的粉笔教学，这样既能延续一贯的听课方式，发挥教师的主导作用，又能充分体现学生的认知主体作用。比如在概率部分，把几个重要的离散型随机变量、连续型随机变量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格；在统计部分，将正态总体均值和方差的置信区间，假设检验问题的拒绝域列成表格形式，其中所涉及到的重要统计量的分布密度函数用***形表示出来。这样，学生觉得一目了然，通过让学生先了解***形的特点，再结合分位数的有关知识，找出其中的规律，理解它们的含义及联系，加深了学生对概念的理解及方法的运用，以便更容易记住和求出置信区间和假设检验问题的拒绝域。这样，不仅使学生对概念的理解更深刻、透彻，也培养了学生运用计算机解决实际问题的能力。
3)案例教学，重视理论联系实际
《概率论与数理统计》是从实际生产中产生的一门应用性学科，它来源于实际又服务于实际。因此，采取案例教学法，重视理论联系实际，可以使教学过程充满活力，学生在课堂上能接触到大量的实际问题，可以提高学生综合分析和解决实际问题的能力。如讲授随机现象时，用抛硬币、元件寿命、某时段内经过某路口的车辆数等例来说明它们所共同具有的特点；讲数学期望概念时，用常见的街头用随机摸球为例，提出如果多次重复地摸球，决定成败的关键是什么，它的规律性是什么等问题，然后再讲数学期望概念在产品检验及保险行业的应用，就能使学生真正理解数学期望的概念并能自觉运用到生活中去；又如讲授正态分布时，先举例说明正态分布在考试、教育评估、企业质量管理等方面的应用，然后结合概率密度***形讲正态分布的特点和性质，让同学们总结实际中什么样的现象可以用正态分布来描述，这样能使学生认识到正态分布的重要性及其应用的广泛性，从而提高学生的学习积极性，强化学生的应用意识。
另外，也可选择一些具有实际背景的典型的案例，例如概率与密码问题、敏感问题的调查、血液检验问题等等。通过对典型案例的处理，使学生经历较系统的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，并运用所学知识和方法去解决实际问题。新晨
3考核方法
考试是一种教学评价手段。现在学生把考试本身当作追求的目标，而放弃了自身的发展愿望，出现了教学中“教”和“学”的目的似乎是为了“考”的奇怪现象。有些院校概率统计课程只有理论课，没有实验课，其考试形式是期末一张试卷定乾坤，虽然有平时成绩，主要以作业和考勤为主，占的比率比较小(一般占2O)，并且学生的作业并不能真实地反映学生学习的好坏，使得教师无法真正地了解每个学生的学习情况，公平合理地给出平时成绩。而这种单一的闭卷考试也很难反映出学生的真实水平。
所以，我们首先要加强平时考查和考试，每次课后要留有作业、思考题，学完每一章后要安排小测验，在概率论部分学完后进行一次大测验。其次注重科学研究，每个学生都要有平时论文，学期论文，以此来检查学生掌握知识情况和应用能力．此外还有实验成绩。最后是期末考试，以A、B卷方式，采取闭卷形式进行考试。将这4个方面给予适当的权重，以均分作为学生该门课程的成绩。成绩不及格者．学习态度好的可以允许补考。否则予以重修。分数统计完后，对成绩分布情况进行分析，通过总体分布符合正态分布程度和方差大小判断班级的总体水平，并对每道题的得分情况进行分析，评价学生对每个知识点的掌握情况和运用能力，找出薄弱环节，以便对原教学计划进行调整和改进。总之，通过科学的考核评价和反馈，促进教学质黾不断改进和提高。
[参考文献]
概率论试题篇6
一、看考试说明，明确命题范围
本块内容对应着必修3中的概率，概率的定义是描述性的，是统计定义，即随机试验中某现象发生的频率的稳定值，用频率估计概率在高考中曾有过考查，在理解了概率定义的基础上正确解答并不困难.古典概率是学习及高考考查的重点，从考纲的要求上也可以看出是唯一的B级要求.《教学要求》强调：“由于没有计数原理的支撑，在利用等可能事件的概率公式计算概率时，要避免用排列组合的知识与方法进行计算的题目，把计数的方法局限于枚举法.”这说明对古典概型的考查会与以往有很大的不同，不会在“计数”上做文章.几何概型是等可能概型的一种，几何概型直观性较强，学习时应强调对几何***形的构造，体会测度的含义——对线段而言是长度，对平面***形而言为面积，对立体***形而言是体积.另外考试说明中一卷只对“互斥事件”提出要求，并没有对“对立事件”提出要求，这一点在一卷复习中要注意一下，防止复习方向发生偏差.
二、看高考真题，明确答题标准
从上面的4道高考真题中我们可以得出以下一些信息，一般来说高考在这一块主要是一个填空，属容易题.近几年的江苏概率的题主要是考查了概率的基本概念、古典概型的基本计算方法，考查运算求解能力.对于古典概型的考查，重在概念的理解，如等可能事件的界定等，不纠缠于计数.概率题有横向交汇的趋势，如2012年试题将概率与数列结合在一起，还是考查基本概念.
三、看各地模拟，明确命题趋势
四、看复习备考，落实两个注意
根据课程标准、考试说明找到命题的范围，通过高考真题、各地模拟题强化专项训练.因此，我们在复习备考过程中，必须进行针对性的复习指导，注意以下两点：
首先，必须加强基础题的研究.纵观这几年概率试题，大多数试题源于教材，出于教材，变于教材.特别是江苏高考的概率填空题都是课本上的练习、变式题，即使是综合题，也是由教材例题、习题的重新组合、适当加工、稍作拓展而成的.因此，加强基础题的研究，弄清有关的概念和公式，以课本的例题、习题为基本问题，进行类比复习、变式复习，改变命题的条件，看结论有什么变化，改变命题的结论，看条件需要作什么变化.通过深入浅出、举一反三地练习，打开思维发散空间，“以不变应万变”，在应试场上就能处变不惊.
概率论试题篇7
关键词：公共数学；分层教学；概率论与数理统计
中***分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）30-0096-02
《概率论与数理统计》是高等学校的重要基础理论课程之一，是许多本科专业主要的一门公共数学课，在整个公共数学教学中占据很重要的基础地位，是核心基础课，也是进一步研究其他理工科专业课的出发点和基石。因此，如何积极深化教学改革，探索有效途径运用多媒体及网络教学，使学生易于接受、掌握精髓、学以致用是我们必须面对的重要课题。改革公共数学的教学方法、教学手段，提高教学质量是长期值得探索的问题。
由于高校中不同的专业对数学教学内容的要求不同，为了能更好地发挥教师的教学作用以及调动学生的学习积极性，因此，探讨《概率论与数理统计》的分层教学实施方案是一个比较急迫的事情。本文以西北民族大学公共数学《概率论与数理统计》的设置现状为依据，探讨了公共数学《概率论与数理统计》分层教学方案，其核心内容包括分层教学、分层考核、教学监控与反馈。
一、分层依据
西北民族大学的经管学院、电气工程学院、化工学院、生命科学与工程学院、土木工程学院、数学与计算机科学学院的近二十个专业中均开设有《概率论与数理统计》课。但在具体教学过程中，《概率论与数理统计》课程的教学效果却不尽如人意，出现学生过关率不高、两级分化严重、课时紧张等诸多问题。
由西北民族大学公共数学现状及存在的问题可看到，西北民族大学开设《概率论与数理统计》课的专业比较复杂，所以有必要实施分层教学。分层教学就是依据对《概率论与数理统计》课程的不同专业要求，将各专业划分为不同的教学层次，每个教学层次的教学内容与教学要求都不尽相同。
在详尽分析各专业开课现状基础，根据开课周学时、前驱课程高等数学的开课情况，以及专业特点，公共《概率论与数理统计》可按照五个教学层次进行教学。
第一教学层次包括电气工程学院的物理学（藏汉双语）专业，现代教育技术学院的应用心理学专业；第二教学层次包括电气工程学院的电气工程及其自动化、电子信息工程、自动化、通信工程专业，土木工程学院的土木工程专业，生命科学与工程学院的食品科学与工程专业；第三教学层次包括管理学院的工商管理、公共事业管理、会计学、旅游管理专业，经济学院的国际贸易、金融学、经济学专业，现代教育技术学院的教育技术学专业；第四教学层次包括数学与计算机科学学院的计算机科学与技术、软件工程专业；第五教学层次包括民族学与社会学学院的社会工作、社会学专业。
二、分层教学内容
各教学层次对《概率论与数理统计》课程的基本内容有所取舍。由于不是数学专业，所以所有教学层次都不要求讲授概率极限理论。
第一、二层次由于只有周2课时，总学时比较紧张，所以只要求讲授概率论部分，不要求讲授数理统计部分。第一层次中应用心理学专业的《高等数学》课程没有开设二重积分，所以不要求讲授二维连续型随机变量，物理学（藏汉双语）专业由于其专业特点也归入第一层次。
第三、四层次为周3课时，总学时足够讲授数理统计部分，同样由于第三层次中的专业没有学重积分，所以也不要求讲授二维连续型随机变量。
第五层次中，由社会工作专业和社会学专业的专业特点，其后续课程大量用到回归分析的知识，并且总课时也比较充足，因此不仅要求讲授概率论部分和数理统计部分，也要求讲授回归分析。
三、教材和教学参考资料的建设
教材是师生进行教学活动的基本依据，是教学内容和教学方法的知识载体，也是实现课程教学目标、实施课堂教学的重要资源。教材不能是一成不变的，可根据实际情况结合时代特点进行更换，因此，在教学过程中，要注重教材和教参资料的建设。公共数学《概率论与数理统计》的教材可按如下方案进行建设。
公共数学《概率论与数理统计》的教材必须由公共数学教研室指定，可由任课教师推荐，经公共数学教研室组织教师讨论通过，报学院批准，再报送教务处备案才能使用。
原则上教材应选用高等教育出版社和科学出版社等A类出版社出版的教材。选用的教材，一方面要能满足各教学层次的教学要求，与教学大纲相匹配，另一方面要相对统一，以便能统一管理，特别是可以为统一考试、建立题库打好基础。
在本校经过多次使用、多次调整的讲义应该更能体现本校学生情况，更能满足学生的需求，因此，任课教师在授课过程中要注意积累概率论与数理统计讲义，在条件适当情况可将讲义编为教材出版。
四、课程考核方案
公共课《概率论与数理统计》的课程考核比例为平时占20%，期中占20%，期末占60%，平时考核方式为考勤、作业，期中考核方式为测验，期末考核方式为闭卷考试。
期末考试也分层考核，根据教学层次、开课学期、专业特点将各专业分为五个考核层次。各层次考查要点及试卷生成方式按如下方式执行，其中：
第一考核层次包括电气工程学院的物理学（藏汉双语）专业，由授课教师单独出卷，考试内容由任课教师视实际情况而定；第二考核层次包括现代教育技术学院的应用心理学专业，电气工程学院的电气工程及其自动化、自动化、电子信息工程、通信工程专业，生命科学与工程学院的食品科学与工程专业，土木工程学院的土木工程专业，试卷采用“公共概率周2题库（心理/电气/食品/土木）”由计算机组卷，考试内容依据第一教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案；第三考核层次包括管理学院的工商管理、公共事业管理、会计学、旅游管理专业，经济学院的国际贸易、金融学、经济学专业，现代教育技术学院的教育技术学专业，试卷采用“公共概率周3题库1（管理/经济/教育技术）”由计算机组卷，考试内容依据第三教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案；第四考核层次包括数学与计算机科学学院的计算机科学与技术、软件工程专业，试卷采用“公共概率周3题库2（计算机/软件）”由计算机组卷，考试内容依据第四教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案；第五考核层次包括民族学与社会学学院的社会工作、社会学专业，试卷采用“公共概率周4题库（社会）”由计算机组卷，考试内容依据第五教学层次的教学内容由指定任课教师给出组卷方案。
此外，按照期末考核要求，需建立“公共概率周2题库（心理/电气/食品/土木）”、“公共概率周3题库1（管理/经济/教育技术）”、“公共概率周3题库2（计算机/软件）”、“公共概率周4题库（社会）”4种计算机组卷题库。原则上，若某学期需要用某一题库进行计算机组卷，则该学期需修订该题库。题库的建立、修订及增补试题应提前提出出题原则和出题知识点。修订教师依据各分层考核方案中的要求及教学层次中的考核要点给出本学期期末考试的组卷方案；
五、教学反馈
为了提高公共数学《概率论与数理统计》的教学质量，需要实施教学反馈制度。教学反馈从信息获取渠道的主体不同可分为三个层次：最低一层是任课教师从学生处获得反馈，中间一层是学院（任课教师所在学院、学生所在学院）或教研室从任课教师和学生处获得反馈，最高一层是教务部门从学生所在学院和开课学院获得反馈。每一层中获得反馈信息的主体有义务根据反馈意见改进相应的教学活动。具体操作方式如下：
任课教师从学生处获得反馈信息的方式可从以下几个方面入手：一是可从学生听课的表情中获取。课组织得好，讲得生动有趣，学生既在听课，也在积极思考，表情自然喜形于色，而不是满脸的困惑和迷惘；二是可从课堂提问中获取。教师可选择一些与课堂教学内容密切相关的问题和题目进行抽查，根据抽查结果，应可粗略地估计出全班同学对问题的理解；三是可从课后作业和测验中获取。主要的是靠课后辅导、作业批改、小测验等去搜集信息，加以整理归纳出为多数学生所困扰的问题，对症下药，以待下次课上矫正；四是班干部定期向老师反映没听懂的地方，教师及时强化训练。
概率论试题篇8
1 引 言
概率统计课程是高等工科院校最重要的基础课之一，随着高新科技的不断发展，概率统计的地位与作用日益提高。概率统计已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体，成为科技人员科学水平、科学素养的重要组成部分，成为人才竞争中强者的翅膀。因此，概率统计课程在高等学校中的地位和作用也在不断地提高和增强。目前，不仅在理工类专业中广泛开设了概率统计课程，而且在农、纺织、经管类，甚至在文科类专业中也已增设概率统计课程。同时，概率统计科目也是大多数专业考研的必考科目。
在高等工科院校中，概率统计是体系较完整的课程，因此也是培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力的最好课程。但从数学教育的现状分析，我校的数学教学特别是概率统计的教学无论从教学体系、教学内容、教学手段、教学设备等方面都比较陈旧了，教学思想和教学观念还滞后于时代的变化和社会的发展，新形势的概率统计教学充满了机遇和挑战。适应于一般应用性本科院校的实际需求，对概率论与数理统计课程从内容到教学方法和教学手段进行全方位的改革与探索是完全必要的，如计划的顺利实施，必将会提升我校概率论与数理统计课程的教学质量，并为我校培养高素质的技术人才提供重要的理论和实践基础。
2..研究措施
（1）修改教学大纲
重新整合教学内容；重新修改教学大纲，要淡化一些理论色彩较浓的比较抽象的内容，比如在第一章随机事件与概率中全概率公式、贝叶斯公式推导，理论性较强，这部分证明可简化，而在第一节随机试验与随机事件中添加些金融保险的例子，开阔学生的应用概率统计的思路，使得学生在学这门课一开始就明白，我们学概率统计后，不仅仅是知道几个数学公式，会解两道题目，更重要的学会把概率统计的知识应用到工程实践和现实生活中。新的大纲既保证较完整的基础知识，又要加强实用性技能的训练，更加适合为工程一线培养技术人才的应用性本科层次的需要。
（2）修订教材
概率统计教材计划在使用3年以后进行修订，根据编者从事该课程近三十年的教学实践和体会，充分吸取使用本教材的校内外广大教师和学生的意见和建议，对本教材的内容和体系进行系统的修订。教材修订的重点是内容的更新，同时进一步完善教材的体系结构，使取材更加精炼，表述更加准确，实例更加丰富，文字更加流畅。将其打造成为一本精品教材。
（3）修改助学课件、编写学习指导书
编写教材配套的助学课件和学习指导书，组织骨干全体教师的充分酝酿，确定了教材建设的基本思想是提高教学的整体水平和学生的培养质量，制作的助学多媒体课件、编写的教学指导书具有可读性、针对性、适用性，强调解题思路及方法，引导学生深入学习和思考，指导书初定为九章，每章内容结构为：基本内容，例题分析，综合练习和自测试题四个部分，书末附综合练习和自测试题的答案，从而使学生学好概率论与数理统计这门课程。
（4）加强试卷库建设
为了加强教风和学风建设，为了保证了考试的规范性、公正性、科学性，为了科学公正地评价教学质量和效果，期末考试全面实施教考分离。首先要根据新形势、新要求修订概率论与数理统计试卷库，统一考试要求。其次在教考分离的实施过程中力求规范，试卷库由教务处随机抽卷，评阅全部采取流水阅卷，整个考试过程尽量减少人为因素的影响，形成一套科学的、规范的、严格的考试制度。
（5）积极指导学生参加创新项目研究
随着时代的进步，科技的不断创新，数学在现实生活中应用越加广泛，而概率统计作为数学的一个重要组成部分，也被广泛的应用于生活中的不少领域。在现实生活中，消费者总是面临着风险下的选择。为了规避风险消费者便会采用购买保险的方式来将损失降低，保险公司应运而生。然而我国的保险事业起步较晚，虽然随着改革开放深入发展，保险业有了巨大的发展，仍面临富于经验、实力雄厚的外国保险公司的激烈竞争，因此提高自身竞争力，将风险的防范和测度分析置于保险公司经营运作的重要位置，是我国保险业发展的首要问题。概率统计是保险公司常用的一种预算方法，它有效地平衡保险公司与消费者的利益关系，增加保险公司自身的竞争力。给公司的运行与发展提供了强而有力的保障。我们可以指导学生研究保险、金融等统计模型，鼓励他们研究探索，指导他们写学术论文，鼓励他们投稿，争取公开发表。
（6）加强网络教学
组织年青老师，修改课程网站，新网站将有课程介绍、教学大纲、教案或演示文稿、重点难点指导、作业题详细解答、试题库样卷等内容。
根据单招、合资班不同特点，给出复习题，便于同学复习。在网站上开设师生互动栏目，公开讨论问题，研究概率统计在生活中的应用.
概率论试题篇9
关键词：概率论与数理统计；专业案例；教学改革
作者简介：牛银菊（1965-），女，甘肃甘谷人，东莞理工学院计算机学院，副教授；贾继红（1965-），女，山西太原人，东莞理工学院计算机学院，副教授。（广东 东莞 523808）
基金项目：本文系东莞理工学院教育教学改革与研究重点项目（项目编号：2012-4）的研究成果。
中***分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0132-02
根据应用型工科本科院校培养高水平应用型人才的目标，教师需结合“概率论与数理统计”的课程特点，让学生了解“概率论与数理统计”在他们所学专业中的应用，加强学生用“概率论与数理统计”知识解决实际问题的能力，达到高水平应用型人才的培养要求。[1，2]
为了使东莞理工学院（以下简称“我校”）“概率论与数理统计”的教学达到高水平应用型人才的培养要求，对大一和大二的学生分别做了问卷调查，以了解学生对该课程在高中阶段的学习情况和系统学完之后存在的问题。本文基于我校学生的实际情况和教学中存在的问题，探讨了应用型工科本科院校“概率论与数理统计”的教学方法。
一、“概率论与数理统计”教学现状
1.中学阶段的学习情况
在新课程改革的背景下，中学的许多教学内容做了大量调整，特别是“概率论与数理统计”部分的内容增加的幅度较大，教学要求也提高了好多。为了让学生在大学阶段继续学好“概率论与数理统计”，大学老师需了解学生在中学阶段对该门课程的学习情况，以便在重点内容的讲解、难点问题的突破、新旧内容时间的安排等方面做出合理的调整，达到学生所希望的“该详讲的内容详讲，该略讲的内容略讲”的目的，激起学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，同时对教师完善教学内容、改进教学方法、丰富教学手段起到一定的促进作用。为此，对2012化学和化工两个专业的157名同学在中学阶段的学习情况做了如下的问卷调查，共发出问卷157份，收回有效问卷151份，详见表1。
调查结果表明：已学概率论部分大多数同学已掌握，仅有部分同学需加强；已学数理统计部分绝大多数学生只是了解；大多数学生认为该课程比较难学，且学习兴趣不高。
2.大学阶段教学中存在的问题
为了寻求“概率论与数理统计”与工科专业知识的结合点，使学生更好地掌握“概率论与数理统计”的有关知识，并在创新实践活动中运用所学知识解决实际问题，进而培养学生的创新意识和创新能力。为此，对2010工程管理的96名同学对“概率论与数理统计”课程的学习情况做了如下问卷调查，共发出问卷96份，收回有效问卷92份，详见表2。
调查结果表明：多数同学认为该课程比较难学，与所学专业专业课的联系不清楚，不能利用所学知识解决实际问题，且学习兴趣不高。
3.教学现状分析
通过对问卷调查的分析，可知学生在该课程的学习中存在以下问题：大多数学生认为该课程难学、学习的兴趣不高、不知道如何利用所学知识解决实际问题以及不了解与专业课之间的联系。针对以上教学中存在的问题，从强化学生的求知欲、激发学生的学习兴趣、培养学生的创新能力以及解决问题的能力等方面进行了教学改革，相应地提出了一些适合应用型工科本科院校“概率论与数理统计”教学的措施，以期与同仁商榷。
二、教学方法的改革
1.调整教学内容，激发学生的求知欲
概率论的部分内容（如随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、***重复试验等）已放到高中教材，大多数学生已掌握；[3]另一方面，大学“概率论与数理统计”教材虽然根据需要进行了修订，但为了该课程的完整性，概率论部分的内容仍有重复。在选用现行教材的前提下，任课教师需做好与中学教学内容的合理衔接，结合实际情况适当调整“概率论”部分与“数理统计”部分的教学课时数，避免重复讲授已学部分的内容。如概率论部分的讲解可采取复习巩固的形式，重点强调关键的知识点及每个知识点的注意事项，抓住学生喜欢的话题预设问题，以引起学生渴求知识的欲望；根据不同专业有针对性地对教学内容进行调整，以满足相应专业对该门课程知识的需求；在讲数理统计部分时，增加统计推断、统计预测和统计决策的内容，介绍常用统计方法的思想和原理，以加强学生处理数据的能力；推荐学生使用Excel、SPSS等软件使复杂的计算简单化，省下的时间留给数理统计专业案例的讲解，将会收到较好的教学效果。
2.加强师生互动，激发学生的学习兴趣
传统的课堂教学是以老师讲授为主，学生听讲为辅。要改变问卷调查中绝大多数学生认为的“该课程比较难学，学习兴趣不高”的现状，需抓住现阶段学生思维活跃，有和老师互动交流的愿望，在教学中须加强师生间的互动，采取讲练结合、提问回答等多种形式以改变学生所处的被动地位，提高学生学习的主动性，激发学生学习的兴趣。如，在引入“数学期望”的概念时，可以提出问题：如果要对一次英语六级考试中两个学院学生的成绩进行比较，只有成绩单是无法立即得到答案的，应该如何比较呢？学生们自然会想到把两个学院的成绩各自平均一下，通过比较平均成绩得出结论。老师在肯定学生答案的同时，引导学生思考，如果用随机变量的所有可能取值来解决这个问题，应该如何做？学生们当然会联想到用加权平均的概念，只要把概率作为权数，数学期望的定义也就水到渠成了。这样讲，学生容易掌握，记得更牢，用它们解决实际问题更加灵活。
为了利用参与感提高学生听讲的兴趣，可以穿插学生之间的小组讨论、开设小型的研讨会等多种互动形式。讲解抽象的数学概念时，通过提出实际问题引发学生主动思考，在讨论的基础上让学生谈谈自己的想法，从而熟悉从工程背景经过抽取共性得到这些概念的过程，教师对学生的想法简单总结评述后引出新的概念。这样，学生接受起来会更快，理解会更深。
3.结合专业案例，培养学生解决实际问题的能力
根据概率论的实用性，在教学过程中可以选择一些实例，强化实际背景部分的讲解工作，使学生更好地掌握一些重要概念的实质，为熟练应用他们解决实际问题奠定基础，从而增强学生的数学建模能力和创新思维能力。[4]案例教学法是一种理论联系实际，融知识传授、能力培养、素质教育于一体的教学方法。通过案例把学生引导到实际问题中，在分析与讨论的基础上，提出解决问题的途径和基本方法。如，在讲解正态分布时，可以分以下两部分进行：第一，先从学生最关心的学习成绩入手，通过分析讨论使学生明确他们的学习成绩是一个随机变量，会受到他们的学习水平、老师的教学水平、试卷难易程度等因素的影响，在正常情况下，他们的成绩近似服从正态分布；第二，引导学生调查统计他们年级高等数学成绩，并绘出成绩直方***，再与正态分布的密度函数曲线做比较，分析两者之间的差异。若两者出现明显差异，则说明某一随机因素不正常，其中原因或是学生复习准备不充分或是老师的教学方法不当或是试题太难。在分析的基础上找出其内在原因，这样，学生就可以深入浅出地理解课程的知识点，进一步增强他们的应用意识和学习兴趣。
根据概率统计的广泛应用性，可以根据各章节的内容和学生的工程背景，编写许多概率统计在不同领域中的应用案例。对于不同专业的学生，结合不同学科特点构建与本专业相对应的概率应用例子，使案例教学法与概率论统计知识有效地结合。[5]在“概率论与数理统计”课程的具体教学过程中，根据多数学生不了解概率统计课程与所学专业的联系，不知道怎样运用所学知识解决实际问题的现状，可对不同专业的学生列举该课程在不同学科的用途。如，对工程管理专业的学生，可选择工程造价方面的问题，通过工程造价的数据分析与统计，让学生明确要解决与数据有关的问题，必须学习“概率论与数理统计”的有关知识；然后，通过工程项目风险预测、项目盈利能力预测等专业问题，引导学生体验用“概率论与数理统计”的有关知识解决这些专业问题的思路及过程，让学生真正懂得学有所用、学有所值，为更好地运用概率论与数理统计知识解决专业问题奠定坚实的基础。又如，对财经类专业的学生，可使用案例“假设某企业有20000个相同层次的人参保，每年每人付10元保险费，一年内一人死亡的概率为0.004。死亡时，其家属从保险公司能获2000元，试问：平均每户支付赔偿金4.2元至5.9元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万元的概率是多少？”学生通过这些案例的学习，可以亲自体验使用概率统计知识进行数学建模的全过程，加深对概率统计知识的理解，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
4.改进考核方式，培养学生的应用能力和创新意识
在对教学方法进行改革的基础上，可对“概率论与数理统计”课程的考核进行相应的改进。在以往的教学中，由于没有实操课及自主作业的内容等方面的教学，其成绩根据期末考试确定。但是，一次考试的偶然性较大，并不能真实地反映学生的实际水平。根据教学方法的改革，将学生成绩的评定由“期末考试确定”调整为“期末70%+平时10%+实操20%”。实操部分的考题是：让学生自主选题，选取与专业联系密切的实际问题，通过查阅相关的资料解决实际工程问题。实操可以单独完成，也可以几个同学一起完成，其答案没有唯一的评价标准，成绩大多可得到18分以上，即以鼓励性评价为原则。这样，既能鼓励学生创造性地对实际问题提出解决方案，又能培养学生的应用能力和创新意识。
三、结束语
近几年学生对“概率论与数理统计”课程的评教结果表明：本文提出的一些适合应用型工科本科院校教学的措施，大多数学生给予了较高的评价。学生的认同无疑为继续进行教学改革增添了信心，将会为我校办学目标“建设成为特色鲜明的高水平应用型地方大学”的实现起到一定的推动作用。
参考文献：
[1]周兴才.应用型本科院校概率论与数理统计教学研究[J].襄樊学院学报，2011，32（5）：60-63.
[2]牛银菊.概率论与数理统计教学方法探讨[J].东莞理工学院学报，2012，19（3）：111-114.
[3]章山林.工科《概率论与数理统计》的教学改革[J].常熟理工学院学报（哲学社会科学），2008，（12）：109-100.
概率论试题篇10
关键词： 连续型随机变量 随机变量的函数 概率密度函数
1.引言
近两年我应邀为我院与南京财经大学合办的专接本班讲授概率统计课，在教学过程中我发现，全国高等教育自学考试指定教材《概率论与数理统计（经管类）》（全国高等教育自学考试指导委员会组编，武汉大学出版社出版）第52页关于求连续型随机变量函数概率密度的定理的表述不够完美，学生运用该定理求连续型随机变量函数的概率密度时容易出错.发现问题后，我又翻阅全国高等教育自学考试指定教材《概率论与数理统计（二）》（全国高等教育自学考试指导委员会组编，辽宁大学出版社出版）等其他作者主编的几本教材，发现也存在类似的问题.求连续型随机变量函数的概率密度，是全国高等教育自学考试大纲规定的自学重点，也是学生自学的难点.我深感必须把这个问题指出来，并应予以完善，以免让欠完美的说法误导读者，特别是误导没有老师指导的参加自学考试的读者.
2.问题所在
教材《概率论与数理统计（经管类）》中关于求连续型随机变量函数概率密度的定理：
设X为连续型随机变量，其概率密度为f（x）.设g（x）是一严格单调的可导函数，其值域为［α，β］，且g′（x）≠0.记x=h（y）为y=g（x）的反函数，则Y=g（X）的概率密度
f（y）=f［h（y）］|h′（y）|，α＜y＜β0，其他（1）
特别的，当α=-∞，β=+∞时，
f（y）=f［h（y）］|h′（y）|，-∞＜y＜+∞ （2）
该定理容易让学生出错的地方是“［α，β］是g（x）的值域”.
3.欠完美的原因
为什么说定理中的“［α，β］是g（x）的值域”容易让学生出错呢?因为比较（1）式与（2）式，从形式上来讲，容易让人误认为在（2）的情况下，概率密度函数是一个初等函数，而不是分段函数，事实上从本质上来说，此时也可能是一个分段函数.我们看一个例子.
例如：设随机变量X具有概率密度
f（x）=，0＜x＜40，其它
求随机变量Y=2X＋8的概率密度.
本题学生用现有教材中定理解答常见错误如下：
解：由y=2x+8得，h（y）=从而|h′（y）|=
显然y=2x+8的值域为（-∞，+∞），
故α=-∞，β=+∞.
按照教材中定理学生容易错误地把结果写成：
f（y）=f［h（y）］h′（y）
=，-∞＜y＜+∞
事实上本题的结果应为f（y）=，8＜y＜160，其它
4.定理的改进
那么，怎样表述学生运用时才不容易出错呢？我认为应作如下调整.
定理：设X为连续型随机变量，其概率密度为f（x）.设g（x）是一严格单调的可导函数，且g′（x）≠0.记x=h（y）为y=g（x）的反函数，则
（1）当f（x）为一初等函数时，Y=g（X）的概率密度为
f（y）=f［h（y）］|h′（y）|，-∞＜y＜+∞;
（2）当f（x）为一分段函数，且f（x）在有限区间［a，b］以外等于零时，Y=g（X）的概率密度为
f（y）=f［h（y）］|h′（y）|，α＜y＜β0，其它（1）
其中［α，β］是g（x）在［a，b］上的值域.
如果这样叙述，学生应用时就不容易出错了.根据这样的叙述，上例就可以很容易地得到正确结果：
解：由y=2x+8得，h（y）=，从而|h′（y）|=
显然y=2x+8在［0，4］的值域为［8，16］，
故α=8，β=16
又f（x）=，0＜x＜40，其它
本题属于定理中（2）的情形
所以所求概率密度函数为：
f（y）=f［h（y）］|h′（y）|，8＜y＜160，其它
=，8＜y＜160，其它
5.结语
改进后的定理表述与现有教材中定理表述相比，更具可操作性.两年多的实践表明，学生使用改进后的定理求连续型随机变量函数概率密度的错误率显著下降.
参考文献：
［1］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.
［2］叶中行，王蓉华，徐晓岭，白云芬.概率论与数理统计［M］.北京：北京大学出版社，2009.