学文网摘要：德国著名数学家黎曼对当今世界的数学分析和微分几何做出了巨大贡献，同时也为相对论的发展产生了深远的影响。其中，黎曼的几何思想仍然被今天的学者们视为一种珍贵的数学思想，他对空间独特的认识实际上奠定了相对论的理论基础，它的数学分析又为相对论奠定了技术基础，因此，不难发现，他所提出的几何思想对相对论的影响是十分深刻的。本文笔者主要从黎曼的几何思想和它对相对论的影响两个方面进行了介绍和探讨。
关键词：黎曼；几何思想；相对论；影响
中国分类号：G633.63
对绝大多数普通人来说，黎曼这个名字都是十分陌生的。但是，一旦提到跟他相关的黎曼函数、黎曼积分、黎曼引理、黎曼映照定理等时，我们可能对他的认识会变得清晰。在笔者看来，他所开创的黎曼几何是相当有影响力的，而且黎曼几何还为伟大的相对论提供了数学基础。本文笔者简要介绍黎曼的几何思想，并谈谈它对相对论的影响，希望借此机会将黎曼的几何思想充分地挖掘并展现出来，以利于未来数学思想的研究。
一、黎曼的几何思想
笔者通过对黎曼相关文献的研究，总结出黎曼的三种重要几何思想：第一，黎曼率先提出并积极建立了一种更加广泛的几何学；第二，黎曼引入了流形这一概念，这样研究的对象就从曲线或曲面转变为一般的流形，在高斯的内蕴几何思想上面作了进一步的发展，实质上创建了真正的内蕴几何；第三，黎曼进一步区分了度量与拓扑的性质，至此解析几何逐渐演变为代数几何。有学者认为，黎曼的几何思想离不开三个方面，即数学、物理和哲学，这三个方面的影响是成就他几何思想的助推器。
首先在数学方面，作为近代数学奠基者之一的高斯的微分几何思想无疑对黎曼几何思想的提出产生了极大的影响，高斯在数学领域的贡献，从最抽象的代数数论到内蕴几何学都留下了他的足迹。可以说他是18世纪与19世纪之交的中坚人物，也因此被誉为人类有史以来“最伟大的四位数学家之一”。黎曼的几何思想实质上是对高斯数学成果的继承和发展。在发展高斯的内蕴几何思想的过程中，他成功地让非欧几何被世人接受，并且史无前例地改变了数学家的时空观和价值观。其次在物理方面，从某种意义上讲，物理学也是黎曼几何思想产生的源泉，他的众多数学思想都源自于物理学。在19世纪50年代，由于受到韦伯等人的启发，黎曼开始尝试把电、磁、光和引力全部纳入相同的几何模型中去，建立各种力的共同基础。除此之外，它对物理空间和几何空间进行了区别和联系的分析。指出“几何上的流形与物理空间虽然同源，但是两者又不同于物理空间”这一道理。这对黎曼思考空间本性提供了极大帮助。最后在哲学方面，哲学对黎曼的几何思想也具有深刻的启示，尤其是对空间的哲学思考。黎曼从哲学角度来考察物理实在空间与它的几何性质，最终得出了关于几何空间的结论。他大胆地否认了前人先验论与唯理论的观点，进一步明确了逻辑推理与先验假设的关系，最终提出了空间的本性问题，这样的几何思想无疑是最富***性的几何思想。
二、黎曼的几何思想对相对论的影响
其实在笔者看来，黎曼的几何思想最根本的来源是他对于数学内在本质的不断追求和探索，并且辅以各种正确和科学的研究方法。可能会有人认为他的几何思想过于深奥，但毋庸置疑是，他的几何思想翻开了几何研究的崭新一页，极大地改变了19世纪微分几何的发展方向，关键在于他对爱因斯坦广义相对论的创立做出了重要贡献。
1861年，黎曼将自己的论文作品《伦热传导问题》提交至巴黎科学院，提出了重要的等价问题。结果，众多著名学者发文深刻阐述并解决了这一问题，其中意大利数学家里奇与人合写的《绝对微分法及其应用》一文中，更加明确地表述了张量分析，并用一种十分独特的方法算出黎曼弯曲空间的几何性质，使黎曼几何成为一种强有力的工具。爱因斯坦认为，黎曼的几何思想是十分大胆的，他用十分纯粹的数学推理方法得出了几何思想，现在的广义相对论实际上就是融合了他的几何学思想，由此可以看出，黎曼的几何思想对爱因斯坦广义相对论的影响是巨大的。
我们知道，微分几何与相对论这两个学科之间有着完全不同的特征。微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科，这些研究建立在传统经验的基础之上。而相对论是关于时空和引力的基本理论，它的基础来源于物理实验，服务于对现实物理现象与空间性质的解释。两者之间不能说完全没有联系，只是这种联系十分隐秘。而黎曼以他独特的视角和深邃的洞察力发现了有关物理实验事实的几何基础，把两个看似不可能的学科紧密联系在一起。他曾得出这样的预测性结论：有可能现实的空间是离散的流形，或者是在流形的束缚力下，因此，必须在流形之外找出决定度量关系的基础。这意味着黎曼已经认识到物质、力与空间三者结合在一起的必要性。
众所周知，德国物理学家阿尔伯特・爱因斯坦是相对论的奠基者，他的主要成就之一就是1915年11月提出了《广义相对论》引力方程的完整形式，并且成功地解释了水星近日点运动。在20世纪初，爱因斯坦曾发表《论动体的电动力学》一文，成为建立狭义相对论的开始。后来为了把引力场几何化，使之与时空结构联系起来，引入了黎曼的几何学理论最终建立起广义相对论这一新的理论。对此，爱因斯坦曾这样评价广义相对论，他说“广义相对论的建立离不开“绝对微分学”这一数学工具，而“绝对微分学”又是以高斯、黎曼等人关于流形的研究为基础形成的一个体系……，由此可见，黎曼的几何思想至始至终都影响着相对论，意义重大。
三、结束语
总之，黎曼的几何思想与各个学科的发展是相互依赖、密不可分的。这为当今的数学研究提供了一个借鉴的总体方向，不能脱离任何相关的学科去研究问题，而是要全面、联系地去看待和研究它。今天世界的数学发展与19世纪的数学发展显然是不同的，我们已经拥有了许多数学理论基础，然而，在研究数学问题与建立数学思想的过程中，我们仍然需要大胆质疑、与时俱进、积极创新，这样我们的数学研究和数学发展才会后继有人。
参考文献
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