学文网【摘 要】一般教科书[1]，[2]，[3]……用保守力的功等于相关势能增量的负值作为状态函数势能的定义式。通过对体系在保守力作用下的微分过程的研究讨论，推导出了态函数势能的严密定义式，得到两个重要的量化公式：其一，给出态函数势能的量化定义式；其二，方便地得到保守力与相关势能间的微分关系式。
【关键词】功；保守力；势能
一、引言
设质量为m的质点在保守力的作用下，由状态1变化到状态2，相关的势能由变为，若在此变化过程中所作的功记为，则有
（1）
其表述为：保守力的功等于其相关势能增量的负值。一般教科书都以（1）式作为势能的定义式。
本文着重关注质点在保守力作用下的微分过程，通过对该过程的研究讨论，可得到两个重要的量化公式：其一，给出态函数势能的量化定义式；其二，方便地得到保守力与相关势能间的微分关系式。或者说，讨论保守力作用下的微分过程，易解决以下两个问题：①已知保守力，用积分的方法求出相关势能；②已知势能函数，用求导的方法求出相应的保守力。
二、状态函数势能的量化定义
设质量为m的质点在保守力的作用下，经历了一个微分过程，则（1）式可写为
（2）
上式两边积分，有：
即
（3）
（3）式就是势能的量化定义式。其中式中C为积分常数，其值与零势点的选取有关。
在保守力的函数形式已知的情况下，很容易根据（3）计算出相关势能。请参看下面示例。
1、重力势能：根据（3）式，在***1所示的坐标系中，重力势能的计算式为
若规定处，，则，所以
（4）
若，重力势能取正值；若重力势能取负值。
2、万有引力势能：根据（3）式，在***2所示的平面极坐标系中，引力势能的计算式可写为：
若选取时，，则，于是
（5）
3、静电能：根据（3）式可计算两个电量分别为Q和 的静电荷所具有的静电能。（选用平面极坐标系）。
若选取无限远处为势能零点，则，所以
（6）
则距场源电荷Q为r处的电势为
三、保守力与其相关势能间的微分关系
在O-xyz坐标系中，因
所以，由（2）式可得
利用对比系数法，得
（7）
根据（7），在势能函数已知的情况下，易求出相应保守力。
将（7）式中三个式子的两边同乘以同一个单位向量，则有
（8）
引入矢量微分算子
，
（8）式变为
（9）
此即为相互作用的保守力与其相关势能间的微分关系式。它表明，保守力是势能梯度的负值。
四、结语
由以上分析讨论可见，只要我们关注保守力作功的微分过程，则简洁明快地解决了以下两个问题：其一是已知保守力求出相关势能；其二是已知势能函数求出相应的保守力。即由（2）式易得（3），（9）两式。
参考文献：
[1] 漆安慎，杜婵英，普通物理学教程：力学（第二版）高等教育出版社，2005（6）
[2] 程守珠，江之永，普通物理学，高教出版社，2001
[3] 上海交通大学物理教研室，《大学物理学》（上册）上海交通大学出版社， 2006（8）